Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
Решите уравнение $2\cos^2 x + 3\sin(-x) - 3 = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
8 шаговПреобразуем синус отрицательного аргумента и выразим квадрат косинуса через синус:
$$\sin(-x)=-\sin x,\qquad \cos^2x=1-\sin^2x$$Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$$2(1-\sin^2x)-3\sin x-3=0$$Приведём уравнение к квадратному относительно $\sin x$:
$$2\sin^2x+3\sin x+1=0$$Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$(2\sin x+1)(\sin x+1)=0$$Отсюда получаем два случая:
$$\sin x=-\frac12\quad\text{или}\quad\sin x=-1$$Решения уравнения $\sin x=-\frac12$ имеют вид:
$$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$Решения уравнения $\sin x=-1$ имеют вид:
$$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$На отрезке $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$ из первой серии подходит значение при $k=1$: $x=\frac{19\pi}{6}$. Из второй серии значения не попадают в отрезок. Из третьей серии при $k=1$ получаем правую границу отрезка: $x=\frac{7\pi}{2}$.
Общее решение: $x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k$ или $x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k$ или $x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k$, где $k\in\mathbb Z$. На отрезке $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$: $x=\frac{19\pi}{6}$ и $x=\frac{7\pi}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно используют равенство $\sin(-x)=\sin x$ вместо $\sin(-x)=-\sin x$.
Теряют один из корней квадратного уравнения относительно $\sin x$.
Не учитывают правую границу отрезка и исключают корень $x=\frac{7\pi}{2}$.