Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
Решите уравнение $\cos 2x - 3\sin(-x) - 2 = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
6 шаговПреобразуем синус отрицательного аргумента и косинус двойного угла:
$$\cos 2x-3\sin(-x)-2=1-2\sin^2x+3\sin x-2=0$$Получаем квадратное уравнение относительно $\sin x$:
$$2\sin^2x-3\sin x+1=0$$Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$(2\sin x-1)(\sin x-1)=0$$Решаем первое тригонометрическое уравнение:
$$\sin x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \text{ или } x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$Решаем второе тригонометрическое уравнение:
$$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$На отрезке $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ из полученных семейств подходят значения $x=\dfrac{25\pi}{6}$ и $x=\dfrac{9\pi}{2}$.
Общие корни: $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$, $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$, $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$; на отрезке $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$: $x=\dfrac{25\pi}{6}$ и $x=\dfrac{9\pi}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно используют равенство $\sin(-x)=\sin x$ вместо $\sin(-x)=-\sin x$.
Теряют один из случаев при решении уравнения относительно синуса.
Неправильно отбирают корни на заданном отрезке.