Решение: Тригонометрическое уравнение с косинусом
Решите уравнение $2\cos^3 x+\sqrt{3}\cos^2 x+2\cos x+\sqrt{3}=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
6 шаговСделаем замену $t=\cos x$. Тогда уравнение принимает вид:
$$2t^3+\sqrt{3}t^2+2t+\sqrt{3}=0$$Сгруппируем слагаемые и разложим многочлен на множители:
$$2t^3+\sqrt{3}t^2+2t+\sqrt{3}=t^2(2t+\sqrt{3})+(2t+\sqrt{3})=(2t+\sqrt{3})(t^2+1)$$Поскольку $t$ — действительное число, $t^2+1>0$. Следовательно, остаётся решить уравнение:
$$2t+\sqrt{3}=0$$Возвращаясь к переменной $x$, получаем:
$$\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$Общее решение уравнения:
$$x=2\pi k\pm\dfrac{5\pi}{6},\quad k\in\mathbb{Z}$$Проверим корни на отрезке $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$. Из общего решения подходят значения $x=-\dfrac{7\pi}{6}$ и $x=-\dfrac{5\pi}{6}$.
Общее решение: $x=2\pi k\pm\dfrac{5\pi}{6}$, $k\in\mathbb{Z}$. На отрезке $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$: $x=-\dfrac{7\pi}{6}$ и $x=-\dfrac{5\pi}{6}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Потеря множителя $t^2+1$ при разложении многочлена.
Ошибочное решение уравнения $t^2+1=0$ в действительных числах.
Неполный перебор значений параметра $k$ при отборе корней на отрезке.
Неверное определение углов, для которых косинус равен $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.