Решение: Тригонометрическое уравнение с отбором корней
а) Решите уравнение $2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\cos^2x=\cos x-2\sqrt{3}$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]$.
Решение по шагам
7 шаговРаскроем синус суммы:
$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\sin x+\cos x$$Подставим это выражение в исходное уравнение и сократим слагаемые $\cos x$:
$$\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{3}\cos^2x+2\sqrt{3}=0$$Разделим на $\sqrt{3}$ и заменим $\cos^2x$ на $1-\sin^2x$:
$$\sin x-2\cos^2x+2=0;\quad \sin x-2(1-\sin^2x)+2=0$$Получаем квадратное уравнение относительно $\sin x$:
$$2\sin^2x+\sin x=0;\quad \sin x(2\sin x+1)=0$$Решим первое уравнение:
$$\sin x=0\Rightarrow x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$Решим второе уравнение:
$$\sin x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\ или\ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$На отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]$ из решений $x=\pi n$ подходят $x=-2\pi$ и $x=-\pi$. Из решений с синусом $-\frac{1}{2}$ подходит только $x=-\frac{13\pi}{6}$.
а) $x=\pi n$, $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$ или $x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n$, где $n\in\mathbb{Z}$. б) $-\frac{13\pi}{6}, -2\pi, -\pi$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно раскрывают формулу синуса суммы.
Теряют один из двух семейств решений уравнения $\sin x=-\frac{1}{2}$.
Не учитывают границы отрезка при отборе корней.
Записывают только корни на отрезке, не приводя общее решение уравнения.