Тригонометрическое уравнение с параметром
Решите уравнение $8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{\cos^2 x} = 63$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7\pi}{2};\,5\pi\right]$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Как выразить степени с основаниями $16$ и $4$ через одну переменную, используя равенство $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Положите $t = 4^{\sin^2 x}$. Тогда $16^{\sin^2 x} = t^2$, а $4^{\cos^2 x} = \dfrac{4}{t}$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получается уравнение $8t^3 - 63t - 8 = 0$. Его единственный корень на отрезке $[1;4]$ равен примерно $t_0 = 2{,}8677$. Далее найдите $\sin^2 x = \log_4 t_0$ и отберите корни на заданном отрезке.