Тригонометрическое уравнение с параметром
Решите уравнение $4 \cdot 16^{\sin^2 x} - 6 \cdot 4^{\cos^2 x} = 29$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right]$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Сделайте замену $t = 4^{\sin^2 x}$ и выразите через $t$ величину $4^{\cos^2 x}$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, то $4^{\cos^2 x} = 4^{1-\sin^2 x} = \dfrac{4}{t}$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
После подстановки получите кубическое уравнение $4t^3 - 29t - 24 = 0$. У него единственный корень на отрезке $[1;4]$; обозначьте его через $t_0$. Затем решите уравнение $\sin^2 x = \log_4 t_0$.