Решение: Тригонометрическое уравнение с параметром
Решите уравнение $4 \cdot 16^{\sin^2 x} - 6 \cdot 4^{\cos^2 x} = 29$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right]$.
Решение по шагам
8 шаговПоложим $t = 4^{\sin^2 x}$. Поскольку $0 \leq \sin^2 x \leq 1$, имеем $1 \leq t \leq 4$.
$$16^{\sin^2 x}=t^2$$Используем тождество $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ и выразим вторую показательную функцию.
$$4^{\cos^2 x}=4^{1-\sin^2 x}=\frac{4}{4^{\sin^2 x}}=\frac{4}{t}$$Подставим полученные выражения в исходное уравнение.
$$4t^2-6\cdot\frac{4}{t}=29$$Так как $t>0$, умножаем равенство на $t$ и получаем кубическое уравнение.
$$4t^3-29t-24=0$$Функция $f(t)=4t^3-29t-24$ имеет производную $f'(t)=12t^2-29$. На отрезке $[1;4]$ она сначала убывает, а затем возрастает. При этом $f(1)=-49$, $f(4)=116$, поэтому на $[1;4]$ существует единственный корень $t_0$. Численно $t_0\approx 3{,}03736$.
Следовательно, $4^{\sin^2 x}=t_0$, откуда получаем уравнение для синуса.
$$\sin^2 x=\log_4 t_0$$Обозначим $\alpha=\arcsin\sqrt{\log_4 t_0}$. Тогда общее решение имеет вид $x=\pi n\pm\alpha$, где $n\in\mathbb Z$.
На отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$ подходят значения $2\pi-\alpha$, $2\pi+\alpha$ и $3\pi-\alpha$.
Пусть $t_0$ — единственный корень уравнения $4t^3-29t-24=0$ на отрезке $[1;4]$ ($t_0\approx3{,}03736$), а $\alpha=\arcsin\sqrt{\log_4 t_0}$. Тогда общее решение: $x=\pi n\pm\alpha$, $n\in\mathbb Z$. На отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$: $x\in\{2\pi-\alpha,\,2\pi+\alpha,\,3\pi-\alpha\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно преобразуют $4^{\cos^2 x}$ и получают $4t$ вместо $\dfrac{4}{t}$.
Забывают ограничение $1\leq t\leq4$, возникающее из диапазона значений $\sin^2 x$.
Теряют один из корней уравнения $\sin^2 x=a$ при отборе решений на заданном отрезке.
Путают концы отрезка и включают значение $3\pi+\alpha$, которое лежит за пределами отрезка.