Решение: Тригонометрическое уравнение с тангенсом
а) Решите уравнение $\sqrt{3}\tg^2 x - 4\tg x + \sqrt{3} = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
5 шаговВыполним замену $t = \tg x$. Получим квадратное уравнение:
$$\sqrt{3}t^2 - 4t + \sqrt{3} = 0$$Найдём дискриминант:
$$D = (-4)^2 - 4\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 16 - 12 = 4$$Корни квадратного уравнения равны:
$$t_1 = \frac{4+2}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3},\qquad t_2 = \frac{4-2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$Следовательно, общие решения исходного уравнения:
$$x = \frac{\pi}{3} + \pi k,\quad x = \frac{\pi}{6} + \pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$На отрезке $\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]$ из первой серии подходят значения $\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{7\pi}{3}$, а из второй серии — $\frac{7\pi}{6}$ и $\frac{13\pi}{6}$.
Общее решение: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$ или $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k\in\mathbb{Z}$. На отрезке $\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]$: $x\in\left\{\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3},\frac{13\pi}{6},\frac{7\pi}{3}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Потеря одного из корней квадратного уравнения после замены $t = \tg x$.
Неверный общий вид решений уравнения $\tg x = a$.
Неполный перебор значений параметра $k$ на заданном отрезке.