Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
Решите уравнение $2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin(\pi-x)=0$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[7\pi;\frac{17\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
6 шаговПреобразуем синус суммы и синус разности:
$$2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin x=0$$Подставляем значения $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ и упрощаем:
$$\sqrt{3}\sin x+\cos x-2\sqrt{3}\sin x=0$$Получаем:
$$\cos x-\sqrt{3}\sin x=0$$Следовательно, $\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$, поэтому общее решение имеет вид:
$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$Отбираем решения на отрезке $\left[7\pi;\frac{17\pi}{2}\right]$:
$$7\pi\leq\frac{\pi}{6}+\pi n\leq\frac{17\pi}{2}$$Из этого неравенства получаем $n=7$ и $n=8$. Соответствующие корни равны:
$$x=\frac{43\pi}{6},\quad x=\frac{49\pi}{6}$$а) $x=\frac{\pi}{6}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$; б) $x=\frac{43\pi}{6}$ и $x=\frac{49\pi}{6}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать формулу $\sin(\pi-x)$ и считать её равной $-\sin x$.
Потерять общий период при записи решения уравнения.
Неправильно отобрать целые значения параметра $n$ на заданном отрезке.