Тригонометрическое уравнение на отрезке
Решите уравнение $\cos^2 x + \sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[5\pi; 6\pi]$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Представьте квадраты синуса и косинуса через косинус двойного угла.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Используйте формулы $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ и $\sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 - \sin 2x}{2}$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
После преобразований получится $\cos 2x - \sin 2x = -1$, или $\sqrt{2}\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = -1$. Общее решение: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ или $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.