Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Текстовые задачи» — с ответами

Скорость первого велосипедиста

Два велосипедиста одновременно отправились в 90-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 5 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость…

1. 1
   Пусть скорость первого велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго равна $x-5$ км/ч.
2. 2
   Время движения первого велосипедиста равно $\dfrac{90}{x}$ часов, а второго — $\dfrac{90}{x-5}$ часов. По условию второй ехал на 3 часа дольше:$$\dfrac{90}{x-5}-\dfrac{90}{x}=3$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Корень дробно-рационального уравнения

Найдите корень уравнения $\dfrac{1}{3x-4}=5$.

1. 1
   Область допустимых значений: знаменатель не должен обращаться в ноль.$$3x-4\ne 0$$
2. 2
   Умножим обе части уравнения на $3x-4$.$$1=5(3x-4)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Время торможения автомобиля

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 23\ \text{м/с}$, начал торможение с постоянным ускорением $a = 2\ \text{м/с}^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь…

1. 1
   Подставим в формулу пути значения $v_0 = 23$, $a = 2$ и $S = 132$.$$132 = 23t - \dfrac{2t^2}{2}$$
2. 2
   Приведём уравнение к стандартному виду.$$t^2 - 23t + 132 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Разгон мотоциклиста

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 60\ \text{км/ч}$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 32\ \text{км/ч}^2$. Расстояние (в км)…

1. 1
   Подставим в формулу значения $v_0 = 60$, $a = 32$ и $S = 154$:$$60t + \frac{32t^2}{2} = 154$$
2. 2
   Приведём уравнение к квадратному виду:$$16t^2 + 60t - 154 = 0,\quad 8t^2 + 30t - 77 = 0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Время вытекания воды

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону…

1. 1
   Вода перестаёт вытекать, когда высота столба воды становится равной нулю. Поэтому подставляем $H(t)=0$:$$\dfrac{1}{72}t^2-\dfrac{2}{3}t+8=0$$
2. 2
   Умножим уравнение на $72$:$$t^2-48t+576=0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость распространения сигнала

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в…

1. 1
   Подставим в формулу значения частот и скоростей:$$150=140\cdot\dfrac{c+15}{c-14}$$
2. 2
   Сократим обе части уравнения на 10 и умножим на $14(c-14)$:$$15(c+15)=14(c-14)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Время разгона мотоциклиста

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 90\ \text{км/ч}$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 16\ \text{км/ч}^2$. Расстояние $S$ (в…

1. 1
   Подставим в формулу расстояния значения $v_0 = 90$, $a = 16$ и $S = 72$.$$72 = 90t + \dfrac{16t^2}{2} = 90t + 8t^2$$
2. 2
   Получаем квадратное уравнение.$$8t^2 + 90t - 72 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Частота отражённого сигнала

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $299$ МГц. Скорость погружения батискафа $v$ (в м/с) вычисляется по формуле…

1. 1
   Подставим в формулу значения $v=5$ м/с, $c=1500$ м/с и $f_0=299$ МГц:$$5=1500\cdot\frac{f-299}{f+299}$$
2. 2
   Разделим обе части уравнения на $1500$:$$\frac{1}{300}=\frac{f-299}{f+299}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Время торможения автомобиля

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 15\ \text{м/с}$, начал торможение с постоянным ускорением $a = 2\ \text{м/с}^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь…

1. 1
   Подставим $v_0 = 15$, $a = 2$ и $S = 36$ в формулу пути:$$36 = 15t - \frac{2t^2}{2}$$
2. 2
   Преобразуем уравнение:$$t^2 - 15t + 36 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Расстояние до лампочки

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 30$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в…

1. 1
   Подставим $f = 30$ в формулу тонкой линзы и выразим расстояние $d_1$:$$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{30} - \frac{1}{d_2} = \frac{d_2 - 30}{30d_2},\quad d_1 = \frac{30d_2}{d_2 - 30}$$
2. 2
   На отрезке $160 \leq d_2 \leq 180$ функция $d_1 = \dfrac{30d_2}{d_2 - 30}$ убывает, поэтому наименьшее значение достигается при $d_2 = 180$ см.$$d_1 = \frac{30 \cdot 180}{180 - 30} = \frac{5400}{150} = 36$$

Температура звезды

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $P=\sigma S T^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в Вт)…

1. 1
   Из закона Стефана–Больцмана выразим температуру в четвёртой степени.$$T^4=\dfrac{P}{\sigma S}$$
2. 2
   Подставим известные значения и сократим множители $5{,}7$.$$T^4=\frac{5{,}7\cdot10^{26}}{5{,}7\cdot10^{-8}\cdot\frac{1}{2401}\cdot10^{22}}=2401\cdot10^{12}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сопротивление нагрузки по напряжению

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 180\ \text{В}$ и внутренним сопротивлением $r = 1\ \text{Ом}$ хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в омах). Напряжение (в вольтах) на этой нагрузке…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу напряжения:$$170 = \dfrac{180R}{R+1}$$
2. 2
   Умножим обе части уравнения на $R+1$:$$170(R+1)=180R$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Время намотки кабеля

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону…

1. 1
   Подставим в закон движения значения угла, начальной угловой скорости и углового ускорения:$$2250 = 15t + \dfrac{6t^2}{2}$$
2. 2
   Упростим уравнение:$$3t^2 + 15t - 2250 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Время торможения автомобиля

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 24\ \text{м/с}$, начал торможение с постоянным ускорением $a = 3\ \text{м/с}^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь…

1. 1
   Подставим значения $v_0=24$, $a=3$ и $S=90$ в формулу пути.$$24t - \dfrac{3t^2}{2} = 90$$
2. 2
   Умножим уравнение на $2$ и приведём его к стандартному виду.$$48t - 3t^2 = 180 \quad\Longleftrightarrow\quad t^2 - 16t + 60 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Температура поверхности звезды

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $P = \sigma S T^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в Вт)…

1. 1
   Выразим температуру из закона Стефана–Больцмана.$$T = \sqrt[4]{\frac{P}{\sigma S}}$$
2. 2
   Подставим известные значения мощности, постоянной и площади поверхности.$$T = \sqrt[4]{\frac{9{,}12 \cdot 10^{26}}{5{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{256} \cdot 10^{21}}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость распространения сигнала

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ соответственно, частота звукового сигнала $f$…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу частоты:$$110=100\cdot\dfrac{c+29}{c-11}$$
2. 2
   Разделим обе части уравнения на 100:$$1{,}1=\dfrac{c+29}{c-11}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Частота отражённого сигнала

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $185$ МГц. Скорость погружения батискафа $v$ (в м/с) вычисляется по формуле…

1. 1
   Подставим в формулу известные значения скорости погружения, скорости звука и частоты испускаемых импульсов:$$20 = 1500\dfrac{f_2-185}{f_2+185}$$
2. 2
   Решим полученное уравнение относительно $f_2$:$$20(f_2+185)=1500(f_2-185)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость распространения сигнала

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ соответственно, частота звукового сигнала $f$…

1. 1
   Подставим в формулу значения частоты, скорости источника и скорости приёмника:$$170=160\cdot\dfrac{c+8}{c-11}$$
2. 2
   Сократим отношение частот $170:160$ и перемножим полученное равенство крест-накрест:$$\dfrac{17}{16}=\dfrac{c+8}{c-11},\quad 16(c+8)=17(c-11)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сопротивление нагрузки по напряжению

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 130\ \text{В}$ и внутренним сопротивлением $r = 1\ \text{Ом}$ хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в омах). Напряжение (в вольтах) на этой нагрузке…

1. 1
   Подставим в формулу $U = \dfrac{\varepsilon R}{R + r}$ значения $U = 120$, $\varepsilon = 130$ и $r = 1$:$$120 = \dfrac{130R}{R + 1}$$
2. 2
   Умножим обе части уравнения на $R + 1$:$$120(R + 1) = 130R$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разгон мотоциклиста

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 60\ \text{км/ч}$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 18\ \text{км/ч}^2$. Расстояние (в км)…

1. 1
   Подставим в формулу $S = v_0t + \dfrac{at^2}{2}$ значения $S = 21$, $v_0 = 60$ и $a = 18$.$$21 = 60t + \dfrac{18t^2}{2}$$
2. 2
   Приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения.$$9t^2 + 60t - 21 = 0$$

Ещё 3 шага — в полном решении