В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком…
- 1
Пусть всего имеется $4k$ контейнеров. Тогда контейнеров с сахарным песком $k$, а без сахарного песка — $3k$.
- 2
Проверим пункт а). Для доли $20\%$ масса контейнеров с сахаром должна составлять одну пятую общей массы. Возьмём $k=2$. Пусть оба контейнера с сахаром имеют массу по 20 тонн. Тогда их масса равна 40 тонн. Среди шести остальных контейнеров…
Ещё 4 шага — в полном решении
Призёрами городской олимпиады по математике стали 6 учеников, что составило 5% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?
- 1
Пусть $x$ — число участников олимпиады. По условию 5% от этого числа составляют 6 человек.$$0{,}05x = 6$$
- 2
Найдём общее число участников.$$x = \dfrac{6}{0{,}05} = 120$$
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого…
- 1
Пусть сумма кредита равна $x$ тыс. рублей. В январе 2027 года долг возрастает на 20 %, то есть становится равным $1{,}2x$. После платежа в размере 300 тыс. рублей долг составит$$1{,}2x-300$$
- 2
В январе 2028 года этот долг снова увеличивается на 20 %, затем выплачивается 300 тыс. рублей:$$1{,}2(1{,}2x-300)-300=1{,}44x-660$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1400 тыс. рублей. Каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года. С февраля по июнь каждого года…
- 1
Обозначим через $D_i$ долг в июле соответствующего года, измеряемый в тысячах рублей. Тогда $D_0=1400$, а $D_{10}=0$.
- 2
Пусть за первые пять лет долг уменьшается ежегодно на $a$, а за следующие пять лет — на $b$. Так как $D_{10}=0$, имеем $b=D_5/5$. Обозначим $D_5=x$. Тогда $a=(1400-x)/5$, а $D_1=1400-a=1120+0{,}8x$.
Ещё 5 шагов — в полном решении
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого…
- 1
Обозначим первоначальную сумму кредита через $x$ тыс. рублей.
- 2
В январе 2027 года долг увеличится на 20 %, поэтому станет равен $1{,}2x$. После платежа в 500 тыс. рублей останется $1{,}2x-500$ тыс. рублей.$$1{,}2x-500$$
Ещё 4 шага — в полном решении
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму $A$ млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом…
- 1
Обозначим через $D_n$ долг на 15-е число через $n$ месяцев после получения кредита. Тогда $D_0=A$, а $D_{24}=0$.
- 2
По условию долг на 15-е число каждого следующего месяца уменьшается на одну и ту же величину, поэтому последовательность $D_n$ является арифметической прогрессией:$$D_n=A-nd$$
Ещё 9 шагов — в полном решении
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е…
- 1
Пусть $D_i$ — долг на 15-е число $i$-го месяца после внесения платежа, а $D_0$ — первоначальная сумма кредита. Пусть ежемесячное уменьшение долга на 15-е число равно $d$ тысяч рублей.$$D_i=D_{i-1}-d$$
- 2
Так как $D_{10}=300$, первоначальный долг и долги на 15-е число имеют вид:$$D_0=300+10d,\quad D_i=300+(10-i)d$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 27 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом…
- 1
Обозначим через $D_n$ долг на 15-е число месяца, где $D_0=27$ млн рублей, а $D_{36}=0$.$$D_n=D_{n-1}-d$$
- 2
Долг должен уменьшаться на одну и ту же величину за 36 месяцев, поэтому ежемесячное уменьшение равно:$$d=\frac{27}{36}=0{,}75\text{ млн руб.}$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ процентов по сравнению с…
- 1
Переведём сумму кредита в тысячи рублей: $9$ млн рублей равны $9000$ тыс. рублей. Пусть $D_k$ — долг на 15-е число через $k$ месяцев после 15 декабря 2026 года.
- 2
Всего предусмотрено 36 ежемесячных уменьшений долга, причём к концу срока долг уменьшается с $9000$ до нуля на одну и ту же величину. Поэтому величина ежемесячного уменьшения равна$$a=\frac{9000}{36}=250$$
Ещё 7 шагов — в полном решении
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму $A$ млн рублей на 60 месяцев. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца, со 2-го по 14-е…
- 1
Пусть $D_n$ — долг на 15-е число через $n$ месяцев после получения кредита. Долг уменьшается каждый месяц на одну и ту же величину $x$, поэтому $D_n=A-nx$.
- 2
Через 60 месяцев долг должен стать равным нулю: $D_{60}=A-60x=0$. Следовательно, $x=\dfrac{A}{60}$.
Ещё 5 шагов — в полном решении
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев. 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца, где $r$…
- 1
Обозначим через $D_n$ сумму долга на 15-е число $n$-го месяца, измеряемую в тысячах рублей. До первого платежа $D_0=1100$, а по условию $D_{15}=500$.
- 2
Суммы долга на 15-е число месяцев с 1-го по 15-й образуют арифметическую прогрессию. Её разность находится из равенства $D_{15}=D_0+15d$:$$500=1100+15d,\qquad d=-40$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь…
- 1
Обозначим через $D_k$ долг в июле года $2025+k$, где $D_0$ — сумма кредита. В 2026–2030 годах долг уменьшается на одну и ту же величину $a$. Так как $D_5=600$, получаем $D_0=600+5a$.
- 2
В 2030–2035 годах долг уменьшается от $600$ до $0$ за пять равных шагов. Поэтому величина уменьшения на втором этапе равна $600:5=120$ тыс. рублей, а долги $D_6,D_7,D_8,D_9,D_{10}$ равны $480, 360, 240, 120, 0$.
Ещё 4 шага — в полном решении
13ФИПИ 552BFD№ 13Повышенная Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t=1,2,\ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт…
- 1
Пусть ценные бумаги продаются в конце года $k$, где $1\leq k\leq25$. К этому моменту они стоят $k^2$ тыс. рублей. До конца 25-го года деньги находятся на счёте $25-k$ лет и увеличиваются в $1{,}1^{25-k}$ раз.$$S_k=k^2\cdot 1{,}1^{25-k}$$
- 2
Сравним сумму при продаже в конце года $k+1$ с суммой при продаже в конце года $k$.$$\frac{S_{k+1}}{S_k}=\frac{(k+1)^2\cdot1{,}1^{24-k}}{k^2\cdot1{,}1^{25-k}}=\frac{(k+1)^2}{1{,}1k^2}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по…
- 1
Пусть сумма кредита равна $S$ рублей, а каждый из трёх равных платежей — $x$ рублей. После первого начисления процентов и первого платежа долг составит$$1{,}2S-x$$
- 2
После второго начисления процентов и второго платежа остаток долга равен$$1{,}2(1{,}2S-x)-x=1{,}44S-2{,}2x$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей на $(n+1)$ месяц. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом…
- 1
Обозначим через $D_k$ долг в тысячах рублей на 15-е число $k$-го месяца, причём $D_0=1000$. До $n$-го месяца долг уменьшается на 40 тысяч рублей, поэтому $D_n=1000-40n$. По условию $D_n=200$, следовательно, $n=20$.
- 2
Долги на 15-е число имеют значения от 1000 до 200 тысяч рублей: $D_0,D_1,\ldots,D_{20}$. После последнего начисления процентов долг полностью погашается, поэтому $D_{21}=0$.
Ещё 5 шагов — в полном решении
16ФИПИ 6D2E6D№ 13Повышенная В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по…
- 1
Общая сумма платежей составляет 311 040 рублей, а платежи равные. Поэтому размер одного платежа равен:$$P=\frac{311040}{4}=77760$$
- 2
Пусть первоначальная сумма кредита равна $S$. После первого начисления процентов долг станет $1{,}2S$, затем после платежа — $1{,}2S-P$.
Ещё 3 шага — в полном решении
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн рублей на 48 месяцев. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца. Со…
- 1
Обозначим через $D_k$ долг на 15-е число через $k$ месяцев после получения кредита. Так как долг уменьшается каждый месяц на одну и ту же величину, эта величина равна:$$d=\frac{12}{48}=0{,}25\text{ млн рублей}$$
- 2
Следовательно, долг на 15-е число через $k$ месяцев равен:$$D_k=12-0{,}25k$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 900 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на 30 % по сравнению с концом предыдущего года…
- 1
Пусть платежи в 2027 и 2028 годах равны $x$ тыс. рублей, а платеж в 2029 году равен $y$ тыс. рублей.
- 2
В январе 2027 года долг увеличится на 30 %: $900\cdot1{,}3=1170$ тыс. рублей. После платежа $x$ долг составит $1170-x$ тыс. рублей.
Ещё 5 шагов — в полном решении
19ФИПИ 8C8AD4№ 13Повышенная 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на $(n+1)$ месяц. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца, а со 2-го по 14-е…
- 1
Обозначим через $D_k$ сумму долга в тысячах рублей на 15-е число $k$-го месяца после получения кредита. Тогда $D_0=600$, $D_n=200$, а величины $D_1, D_2, \ldots, D_n$ образуют арифметическую прогрессию.
- 2
Пусть разность этой прогрессии равна $-a$. Из условия $D_n=200$ получаем:$$600-na=200,\quad na=400$$
Ещё 9 шагов — в полном решении
20ФИПИ A3CDCA№ 13Повышенная В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1260 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года; — с…
- 1
В июле 2026 года долг составляет 1260 тыс. рублей. После начисления 10 % в январе каждого года долг становится равным$$1260 \cdot 1{,}1 = 1386$$
- 2
В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг должен составлять 1260 тыс. рублей. Поэтому каждый из первых трёх платежей равен$$1386-1260=126$$
Ещё 4 шага — в полном решении