Решение: Расчёт суммы кредита
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму $A$ млн рублей на 60 месяцев. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца, со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга, а 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. К 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равно $A$, если общая сумма платежей в 2027 году составит 2508 тыс. рублей?
Решение по шагам
7 шаговПусть $D_n$ — долг на 15-е число через $n$ месяцев после получения кредита. Долг уменьшается каждый месяц на одну и ту же величину $x$, поэтому $D_n=A-nx$.
Через 60 месяцев долг должен стать равным нулю: $D_{60}=A-60x=0$. Следовательно, $x=\dfrac{A}{60}$.
В месяце, следующем за состоянием с долгом $D_{n-1}$, после начисления процентов долг равен $1{,}02D_{n-1}$. После платежа он должен стать $D_n=D_{n-1}-x$. Поэтому платёж равен $1{,}02D_{n-1}-D_n=0{,}02D_{n-1}+x$.
В 2027 году выполняются первые 12 платежей, поэтому их общая сумма в миллионах рублей равна
$$\sum_{n=1}^{12}\left(0{,}02\left(A-(n-1)x\right)+x\right)$$Подставим $x=\dfrac{A}{60}$:
$$\sum_{n=1}^{12}\left(0{,}02\left(A-(n-1)\frac{A}{60}\right)+\frac{A}{60}\right)=12\cdot\frac{A}{60}+0{,}02A\left(12-\frac{0+1+\dots+11}{60}\right)$$Так как $0+1+\dots+11=66$, получаем:
$$\frac{A}{5}+0{,}02A\left(12-\frac{66}{60}\right)=0{,}2A+0{,}218A=0{,}418A$$2508 тыс. рублей равны $2{,}508$ млн рублей. Следовательно, $0{,}418A=2{,}508$, откуда $A=6$.
6 млн рублей
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать начисление 2% перед каждым ежемесячным платежом.
Считать, что первый платёж относится к декабрю 2026 года, хотя в 2027 году выполняются платежи с января по декабрь.
Не перевести 2508 тыс. рублей в 2,508 млн рублей.
Использовать в сумме платежей постоянную величину долга вместо арифметически убывающего долга.