Решение: Кредит с равными выплатами
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 30-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1503 тысячи рублей?
Решение по шагам
7 шаговОбозначим через $D_n$ долг на 15-е число $n$-го месяца. По условию $D_1=1100$, $D_{31}=0$, а разность арифметической прогрессии $D_1,D_2,\ldots,D_{31}$ постоянна.
Если на 15-е число $n$-го месяца долг равен $D_n$, то 1-го числа следующего месяца он становится равным $1{,}02D_n$. После выплаты долг равен $D_{n+1}$, поэтому выплата составляет $P_n=1{,}02D_n-D_{n+1}$.
Сумма всех выплат равна 1503 тысячам рублей:
$$1503=\sum_{n=1}^{30}(1{,}02D_n-D_{n+1})=1{,}02\sum_{n=1}^{30}D_n-\sum_{n=2}^{31}D_n$$Так как $D_1=1100$ и $D_{31}=0$, получаем:
$$1503=1100+0{,}02\sum_{n=1}^{30}D_n$$Следовательно, сумма долгов на 15-е числа первых 30 месяцев равна:
$$\sum_{n=1}^{30}D_n=\frac{1503-1100}{0{,}02}=20150$$Первые 30 долгов образуют арифметическую прогрессию. Поэтому:
$$20150=\frac{30(D_1+D_{30})}{2}=15(1100+D_{30})$$Отсюда:
$$D_{30}=\frac{20150}{15}-1100=\frac{730}{3}=243\frac{1}{3}$$Долг 15-го числа 30-го месяца равен $\frac{730}{3}$ тысячи рублей, то есть $243\frac{1}{3}$ тысячи рублей.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать увеличение долга на 2% перед каждой выплатой.
Считать, что сумма выплат равна просто разности между первоначальным долгом и суммой процентов.
Использовать в формуле суммы арифметической прогрессии 31 член вместо первых 30.
Забыть, что долг на 15-е число 31-го месяца равен нулю.