Шешімі: Кредит с равными уменьшениями долга
В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Каждый январь долг будет возрастать на 30 % по сравнению с концом предыдущего года. С февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга. В июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. В июле 2030 года долг должен составить 500 тыс. рублей. В июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. К июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2080 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?
Шешім по шагам
10 қадамОбозначим через $d$ ежегодное уменьшение долга в первой пятилетке, а через $D_{2025}$ долг в июле 2025 года. Тогда долги в июле 2026–2030 годов равны:
$$D_{2026}=500+4d,\ D_{2027}=500+3d,\ D_{2028}=500+2d,\ D_{2029}=500+d,\ D_{2030}=500$$Во второй пятилетке долг уменьшается до нуля за пять лет, поэтому ежегодное уменьшение равно $100$ тыс. рублей. Долги в июле 2031–2035 годов составляют $400$, $300$, $200$, $100$ и $0$ тыс. рублей.
$$D_{2031}=400,\ D_{2032}=300,\ D_{2033}=200,\ D_{2034}=100,\ D_{2035}=0$$Рассчитаем платежи во второй пятилетке с учётом ежегодного увеличения долга на 30 процентов:
$$P_{2031}=1{,}3\cdot500-400=250$$Аналогично получаем остальные платежи:
$$P_{2032}=1{,}3\cdot400-300=220,\quad P_{2033}=1{,}3\cdot300-200=190,\quad P_{2034}=1{,}3\cdot200-100=160,\quad P_{2035}=1{,}3\cdot100-0=130$$Сумма платежей во второй пятилетке равна $950$ тыс. рублей. Поэтому сумма платежей в первой пятилетке равна:
$$2080-950=1130$$Пусть долг в июле 2025 года равен $500+5d$ тыс. рублей. Тогда платежи за 2026–2030 годы равны:
$$P_{2026}=1{,}3(500+5d)-(500+4d)=150+2{,}5d$$Для последовательных лет получаем платежи $150+2{,}5d$, $150+1{,}2d$, $150-0{,}1d$, $150-1{,}4d$, $150-2{,}7d$. Их сумма равна:
$$(150+2{,}5d)+(150+1{,}2d)+(150-0{,}1d)+(150-1{,}4d)+(150-2{,}7d)=750-0{,}5d$$При такой записи удобнее просуммировать напрямую выражения $1{,}3D_{n-1}-D_n$. Получаем сумму платежей за 2026–2030 годы:
$$1{,}3(700+660+620+580+540)-(660+620+580+540+500)=1130$$Из равенства суммы платежей находим ежегодное уменьшение долга $d=40$ тыс. рублей. Тогда долг в июле 2025 года равен $500+5\cdot40=700$ тыс. рублей, а долг в июле 2026 года равен $660$ тыс. рублей.
$$d=40,\quad D_{2025}=700,\quad D_{2026}=660$$Платёж в 2026 году равен увеличившемуся на 30 процентов долгу 2025 года минус долг в июле 2026 жылдары:
$$P_{2026}=1{,}3\cdot700-660=250$$250000 рублей
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать увеличение долга на 30 процентов перед каждым ежегодным платежом.
Считать сумму платежей равной только разности долгов.
Перепутать долг в июле предыдущего года с долгом после начисления процентов.