Решение: Расчёт процентной ставки кредита
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей на $(n+1)$ месяц. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа $n$-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
— к 15-му числу $(n+1)$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите $r$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим через $D_k$ долг в тысячах рублей на 15-е число $k$-го месяца, причём $D_0=1000$. До $n$-го месяца долг уменьшается на 40 тысяч рублей, поэтому $D_n=1000-40n$. По условию $D_n=200$, следовательно, $n=20$.
Долги на 15-е число имеют значения от 1000 до 200 тысяч рублей: $D_0,D_1,\ldots,D_{20}$. После последнего начисления процентов долг полностью погашается, поэтому $D_{21}=0$.
Сумма долгов до начисления процентов за 21 месяц равна сумме арифметической прогрессии от 1000 до 200:
$$\sum_{k=0}^{20}D_k=\frac{21(1000+200)}{2}=12600$$Сумма долгов после выплат за первые 20 месяцев равна сумме значений от 960 до 200, а в последний месяц долг после выплаты равен нулю:
$$\sum_{k=1}^{21}D_k=\frac{20(960+200)}{2}+0=11600$$Пусть $q=1+\dfrac{r}{100}$. Выплата в каждом месяце равна начисленному долгу минус долг после выплаты. Поэтому общая сумма выплат в тысячах рублей равна:
$$12600q-11600=1378$$Решим уравнение относительно $q$:
$$12600q=12978,\qquad q=\frac{12978}{12600}=1{,}03$$Следовательно, $1+\dfrac{r}{100}=1{,}03$, откуда:
$$\frac{r}{100}=0{,}03,\qquad r=3$$$r=3\%$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что долг 200 тысяч рублей достигается после 21 уменьшения на 40 тысяч.
Не учитывать последний месяц, в котором долг после выплаты равен нулю.
Складывать долги после начисления процентов вместо выплат, равных разности начисленного и оставшегося долга.
Забывать перевести сумму кредита и выплат в одни и те же единицы измерения.