Решение: Расчёт процентной ставки кредита
В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года ($r$ — целое число);
— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2030 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите $r$.
Решение по шагам
10 шаговОбозначим через $B_t$ долг в июле года $t$, измеряемый в тысячах рублей. В июле 2025 года $B_{2025}=800$, а в июле 2030 года $B_{2030}=200$. За пять лет долг уменьшается равными величинами, поэтому ежегодное уменьшение равно
$$a=\frac{800-200}{5}=120$$Следовательно, долги в июле 2025–2030 годов равны
$$800,\ 680,\ 560,\ 440,\ 320,\ 200$$С 2030 по 2035 год долг также уменьшается равными величинами. Поэтому ежегодное уменьшение равно
$$b=\frac{200-0}{5}=40$$Долги в июле 2031–2035 годов равны
$$160,\ 120,\ 80,\ 40,\ 0$$Обозначим множитель увеличения долга в январе через $q=1+\frac{r}{100}$. Сумма платежей за каждый год равна долгу после начисления процентов минус долг в июле после платежа. Поэтому сумма всех платежей равна
$$q(B_{2025}+B_{2026}+\dots+B_{2034})-(B_{2026}+B_{2027}+\dots+B_{2035})$$Сумма долгов, предшествующих начислению процентов, равна
$$800+680+560+440+320+200+160+120+80+40=3400$$Сумма долгов после соответствующих платежей равна
$$680+560+440+320+200+160+120+80+40+0=2600$$По условию сумма платежей составляет 1480 тыс. рублей. Получаем уравнение
$$3400q-2600=1480$$Находим множитель увеличения долга и процентную ставку:
$$q=\frac{1480+2600}{3400}=1{,}2,\qquad 1+\frac{r}{100}=1{,}2$$Следовательно, $r=20$.
$$r=20$$20
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать количество промежутков между июлем 2025 и июлем 2030: их пять, а не четыре.
Не учитывать начисление процентов перед каждым из десяти платежей.
Складывать только уменьшения долга, не учитывая суммы, на которые долг возрастает в январе.