Решение: Кредит с равными платежами
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 34 150 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Решение по шагам
7 шаговПусть $S$ рублей — сумма кредита, а $P$ рублей — размер каждого из трёх равных платежей. После первого начисления процентов и платежа долг составит $1{,}1S-P$.
$$D_1=1{,}1S-P$$После второго года долг составит $1{,}1D_1-P$, а после третьего начисления процентов и последнего платежа он станет равен нулю.
$$1{,}1(1{,}1(1{,}1S-P)-P)-P=0$$Раскроем скобки и выразим связь между суммой кредита и платежом.
$$1{,}331S-3{,}31P=0,\quad 3{,}31P=1{,}331S$$По условию общая сумма трёх платежей на 34 150 рублей больше суммы кредита.
$$3P-S=34150$$Из первого уравнения $P=\dfrac{1{,}331}{3{,}31}S$. Подставим это во второе уравнение.
$$3\cdot\frac{1{,}331}{3{,}31}S-S=34150$$Решая уравнение, получаем сумму кредита $S=165500$ рублей. Тогда размер одного платежа равен $P=66550$ рублей.
$$P=\frac{1{,}331\cdot165500}{3{,}31}=66550$$Всего банку будет выплачено три одинаковых платежа.
$$3P=3\cdot66550=199650$$Банку будет выплачено 199650 рублей.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Начислять 10% после платежа, а не до него.
Забывать, что платежи равны.
Использовать условие о переплате как $3P-S=34150$ с неверным знаком.
В качестве ответа указывать сумму кредита, а не общую сумму выплат.