Решение: Кредит с равными платежами
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 104 800 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Решение по шагам
8 шаговОбозначим сумму кредита через $S$, а размер каждого из трёх равных платежей — через $x$. Коэффициент увеличения долга за год равен $1{,}25=\dfrac{5}{4}$.
$$q=\frac{5}{4}$$Перед первым платежом долг равен $\frac{5}{4}S$. После платежа он составляет $\frac{5}{4}S-x$.
$$D_1=\frac{5}{4}S-x$$Перед вторым платежом долг увеличивается в $\frac{5}{4}$ раза, поэтому после второго платежа он равен $\frac{5}{4}\left(\frac{5}{4}S-x\right)-x$.
$$D_2=\frac{25}{16}S-\frac{5}{4}x-x$$Перед третьим платежом долг снова увеличивается в $\frac{5}{4}$ раза, а затем выплачивается последний платёж. После него долг становится равным нулю.
$$\frac{5}{4}\left(\frac{25}{16}S-\frac{5}{4}x-x\right)-x=0$$Раскроем скобки и выразим размер платежа через сумму кредита.
$$\frac{125}{64}S-\frac{25}{16}x-\frac{5}{4}x-x=0;\quad x=\frac{125}{244}S$$Общая сумма выплат равна $3x$. По условию она на 104800 рублей больше суммы кредита.
$$3x-S=104800$$Подставим найденное выражение для $x$ и найдём сумму кредита.
$$3\cdot\frac{125}{244}S-S=104800;\quad \frac{131}{244}S=104800;\quad S=195200$$Найдём один платёж и общую сумму выплат.
$$x=\frac{125}{244}\cdot195200=100000;\quad 3x=300000$$Банку будет выплачено 300000 рублей.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают проценты только перед первым платежом.
Умножают на 25%, а не на коэффициент $1{,}25$.
Забывают, что каждый из трёх платежей одинаков.
В условии о переплате используют сумму одного платежа вместо общей суммы выплат.