Решение: Кредит с ежемесячными платежами
15 января планируется взять кредит в банке на 4 месяца. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен составлять часть кредита в соответствии с таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 |
|---|---|---|---|---|---|
| Долг (в процентах от кредита) | 100 % | 80 % | 60 % | 40 % | 0 % |
Найдите наименьшее значение $r$, при котором сумма всех платежей будет превышать кредит больше чем на $30\%$.
Решение по шагам
7 шаговПусть величина кредита равна $1$. Обозначим $q = \dfrac{r}{100}$. После начисления процентов долг увеличивается в $1+q$ раз.
$$q=\dfrac{r}{100}$$Первый платёж производится после начисления процентов на долг, равный $1$. Поэтому первый платёж составляет $1(1+q)-0{,}8$.
$$P_1=0{,}2+q$$Перед вторым платежом долг $0{,}8$ увеличивается до $0{,}8(1+q)$, после чего он должен стать равным $0{,}6$.
$$P_2=0{,}8(1+q)-0{,}6=0{,}2+0{,}8q$$Аналогично найдём третий и четвёртый платежи.
$$P_3=0{,}6(1+q)-0{,}4=0{,}2+0{,}6q;\quad P_4=0{,}4(1+q)-0=0{,}4+0{,}4q$$Сумма всех платежей должна превышать кредит более чем на $30\%$, то есть быть больше $1{,}3$.
$$P_1+P_2+P_3+P_4=1+2{,}8q>1{,}3$$Решим неравенство и учтём, что $r$ — целое число.
$$2{,}8q>0{,}3;\quad q>\dfrac{3}{28};\quad r>\dfrac{300}{28}=10\dfrac{5}{7}$$Наименьшее целое значение $r$, удовлетворяющее неравенству, равно $11$.
Наименьшее значение $r$ равно $11$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать начисление процентов перед каждым платежом.
Считать, что проценты начисляются только на первоначальную сумму кредита.
Забыть условие строгого превышения $30\%$ и взять значение, дающее ровно $30\%$.
Не учесть, что $r$ должно быть целым числом.