Решение: Расчёт процентной ставки кредита
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев. 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца, где $r$ — целое число. Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга. 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. 15-го числа 15-го месяца долг должен быть равен 500 тысяч рублей. К 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите $r$, если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет составлять 1228 тысяч рублей.
Решение по шагам
8 шаговОбозначим через $D_n$ сумму долга на 15-е число $n$-го месяца, измеряемую в тысячах рублей. До первого платежа $D_0=1100$, а по условию $D_{15}=500$.
Суммы долга на 15-е число месяцев с 1-го по 15-й образуют арифметическую прогрессию. Её разность находится из равенства $D_{15}=D_0+15d$:
$$500=1100+15d,\qquad d=-40$$Следовательно, суммы долга на 15-е число месяцев изменяются от 1100 до 500 с шагом 40. Сумма всех значений от $D_0$ до $D_{15}$ равна:
$$S=D_0+D_1+\dots+D_{15}=\frac{(1100+500)\cdot16}{2}=12800$$Пусть $q=1+\dfrac r{100}$. В месяце $n$ после начисления процентов долг становится равным $qD_{n-1}$, поэтому платёж за этот месяц равен $qD_{n-1}-D_n$.
Сумма всех 16 платежей равна:
$$\sum_{n=1}^{16}(qD_{n-1}-D_n)=q(D_0+\dots+D_{15})-(D_1+\dots+D_{16})$$Так как $D_{16}=0$, получаем:
$$1228=qS-(S-D_0)=D_0+(q-1)S=1100+\frac r{100}\cdot12800$$Решаем полученное уравнение:
$$128=12800\cdot\frac r{100}=128r$$Следовательно, $r=1$.
$r=1$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать начисление процентов перед каждым ежемесячным платежом.
Считать сумму долга арифметической прогрессией только от $D_1$ до $D_{15}$ и забыть начальную сумму $D_0$.
Ошибочно считать, что долг на 15-е число 16-го месяца также должен продолжать арифметическую прогрессию с разностью $-40$; условие отдельно задаёт его равным нулю.
Не учитывать, что сумма всех платежей отличается от первоначального долга на сумму начисленных процентов.