Решение: Оптимальный год продажи ценных бумаг
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t=1,2,\ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 10%.
В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей?
Решение по шагам
5 шаговПусть ценные бумаги продаются в конце года $k$, где $1\leq k\leq25$. К этому моменту они стоят $k^2$ тыс. рублей. До конца 25-го года деньги находятся на счёте $25-k$ лет и увеличиваются в $1{,}1^{25-k}$ раз.
$$S_k=k^2\cdot 1{,}1^{25-k}$$Сравним сумму при продаже в конце года $k+1$ с суммой при продаже в конце года $k$.
$$\frac{S_{k+1}}{S_k}=\frac{(k+1)^2\cdot1{,}1^{24-k}}{k^2\cdot1{,}1^{25-k}}=\frac{(k+1)^2}{1{,}1k^2}$$Сумма увеличивается при переходе от $k$ к $k+1$, если
$$\frac{(k+1)^2}{k^2}>1{,}1=\frac{11}{10}\iff 10(k+1)^2>11k^2\iff k^2-20k-10<0$$Корни уравнения $k^2-20k-10=0$ равны $10-\sqrt{110}$ и $10+\sqrt{110}$. Так как $10+\sqrt{110}\approx20{,}49$, для целых $k$ неравенство выполняется при $k\leq20$. Значит, суммы возрастают до перехода от 20-го к 21-му году.
$$S_{21}>S_{20}$$При $k\geq21$ отношение $S_{k+1}/S_k$ меньше 1, поэтому после 21-го года суммы убывают. Следовательно, наибольшая сумма достигается при продаже бумаг в конце 21-го года.
$$S_{22}<S_{21}$$Пенсионному фонду следует продать ценные бумаги в конце 21-го года.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что после продажи деньги увеличиваются только до конца 25-го года.
Используют множитель $1{,}1^k$ вместо $1{,}1^{25-k}$.
Сравнивают только стоимость ценных бумаг и не учитывают банковские проценты.
Ошибочно выбирают 20-й год, не проверив переход от 20-го к 21-му году.