Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Теория вероятностей» — с ответами

Вероятность первого выступления

В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 4 из Аргентины, 7 из Бразилии, 5 из Парагвая и 4 из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием…

1. 1
   Определим общее число спортсменов:$$4+7+5+4=20$$
2. 2
   Благоприятными являются 7 случаев, когда первым выступает спортсмен из Бразилии.$$P=\dfrac{7}{20}=0{,}35$$

Вероятность без логарифмов

В сборнике билетов по математике всего 48 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме «Логарифмы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется…

1. 1
   Найдём число билетов, в которых нет вопроса по теме «Логарифмы».$$48 - 12 = 36$$
2. 2
   Вероятность выбирается как отношение числа подходящих билетов к общему числу билетов.$$P = \dfrac{36}{48} = 0{,}75$$

Вероятность доклада Португалии

На конференцию приехали учёные из трёх стран: 12 из Португалии, 7 из Финляндии и 11 из Болгарии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите…

1. 1
   Найдём общее число учёных:$$12+7+11=30$$
2. 2
   Из-за случайного порядка каждый из 30 учёных с одинаковой вероятностью может оказаться седьмым. Благоприятных учёных 12 — из Португалии.$$P=\dfrac{12}{30}=0{,}4$$

Вероятность выступления итальянца

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 75 спортсменов, среди них 15 спортсменов из Италии и 13 спортсменов из Канады. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Из-за случайной жеребьёвки каждый из 75 спортсменов с одинаковой вероятностью может выступать четвёртым.
2. 2
   Благоприятными являются 15 спортсменов из Италии.$$P = \dfrac{15}{75} = 0{,}2$$

Вероятность отсутствия дефекта

Фабрика выпускает сумки. В среднем 3 сумки из 50 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без скрытых дефектов.

1. 1
   Вероятность того, что сумка имеет скрытый дефект, равна отношению числа дефектных сумок к общему числу сумок:$$P(\text{дефект}) = \dfrac{3}{50}$$
2. 2
   Событие «сумка без скрытого дефекта» является противоположным событию «сумка имеет скрытый дефект». Поэтому:$$P(\text{без дефекта}) = 1 - \dfrac{3}{50} = \dfrac{47}{50} = 0{,}94$$

Вероятность выступления Германии

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 13 из Великобритании, 7 из Франции, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность…

1. 1
   Найдём число спортсменок из Германии:$$50 - 13 - 7 = 30$$
2. 2
   Благоприятными являются 30 исходов из 50 возможных, поэтому вероятность равна:$$P = \dfrac{30}{50} = 0{,}6$$

Вероятность выступления аргентинца

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 3 прыгуна из Голландии и 6 прыгунов из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Тринадцатым с одинаковой вероятностью может выступить любой из 40 спортсменов.
2. 2
   Благоприятными являются 6 спортсменов из Аргентины.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выступления литовца

В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 18 из Эстонии, 11 из Латвии, 15 из Литвы и 6 из Польши. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите…

1. 1
   Найдём общее число спортсменов:$$18+11+15+6=50$$
2. 2
   Благоприятными являются случаи, когда первым выступает один из 15 спортсменов из Литвы.$$P=\dfrac{15}{50}=0{,}3$$

Вероятность выступления во второй день

Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 50 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 20…

1. 1
   Определим количество выступлений, распределённых между вторым, третьим и четвёртым днями:$$50 - 20 = 30$$
2. 2
   Так как выступления поровну распределены между тремя оставшимися днями, во второй день запланировано:$$30 : 3 = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выступления спортсмена

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 60 спортсменов, среди них 19 спортсменов из Голландии и 24 спортсмена из Дании. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Так как порядок выступлений определяется случайной жеребьёвкой, каждый из 60 спортсменов имеет одинаковую вероятность выступать четвёртым.$$n = 60$$
2. 2
   Благоприятными являются 24 спортсмена из Дании.$$m = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выбора мальчика

Дима, Марат, Петя, Надя и Света бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.

1. 1
   Всего в жребии участвуют 5 человек: Дима, Марат, Петя, Надя и Света.
2. 2
   Мальчиков трое: Дима, Марат и Петя. Поэтому число благоприятных исходов равно 3.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Условная вероятность суммы

Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 10».

1. 1
   Так как шестёрка не выпадала ни разу, каждый из двух бросков может дать только один из пяти результатов: от 1 до 5. Число равновероятных пар результатов равно$$5 \cdot 5 = 25$$
2. 2
   Сумма очков равна 10 только при результате $(5;5)$, то есть благоприятен один исход.$$P = \frac{1}{25}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность одной решки

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

1. 1
   При двух бросках симметричной монеты возможны четыре равновероятных исхода: орёл—орёл, орёл—решка, решка—орёл, решка—решка.
2. 2
   Ровно одна решка выпадает в двух исходах: орёл—решка и решка—орёл.$$P = \dfrac{2}{4} = 0{,}5$$

Вероятность выпадения решки

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.

1. 1
   Орёл не должен выпасть ни в одном из двух бросков, то есть в обоих бросках должна выпасть решка.
2. 2
   Вероятность выпадения решки при одном броске симметричной монеты равна $\dfrac{1}{2}$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выбора туриста

В группе туристов 12 человек. С помощью жребия они выбирают трёх человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт…

1. 1
   Из 12 туристов выбирают 3 человека. Для каждого туриста вероятность попасть в число выбранных одинакова.
2. 2
   Вероятность того, что турист Д. будет выбран, равна отношению числа выбираемых туристов к общему числу туристов:$$P=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}=0{,}25$$

Вероятность спортсмена из Испании

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 10 спортсменов из Испании и 6 спортсменов из Бразилии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Поскольку порядок выступлений определяется случайной жеребьёвкой, каждый из 25 спортсменов с одинаковой вероятностью может выступать одиннадцатым.
2. 2
   Благоприятными являются 10 спортсменов из Испании.$$P = \dfrac{10}{25}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выбора туриста

В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают трёх человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт…

1. 1
   Из 5 туристов выбирают 3 человек. Для любого конкретного туриста вероятность попасть в выбранную группу равна отношению числа выбранных мест к числу туристов.$$P = \dfrac{3}{5}$$
2. 2
   Вычисляем значение вероятности.$$P = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$$

Вероятность первого выступления

В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 6 из Великобритании, 2 из Франции, 4 из Германии и 3 из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием…

1. 1
   Определим общее число спортсменов:$$6+2+4+3=15$$
2. 2
   Благоприятными являются случаи, когда первым выступает один из 6 спортсменов Великобритании.$$P=\dfrac{6}{15}=0{,}4$$

Вероятность выступления словенки

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 17 из Сербии, 13 из Хорватии, остальные из Словении. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Найдём количество спортсменок из Словении:$$50 - 17 - 13 = 20$$
2. 2
   Вероятность того, что первой выступит спортсменка из Словении, равна отношению числа спортсменок из Словении к общему числу участниц:$$P = \dfrac{20}{50} = 0{,}4$$

Вероятность выступления спортсменки

В чемпионате по гимнастике участвуют 45 спортсменок: 6 из России, 21 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Найдём количество спортсменок из Китая:$$45 - 6 - 21 = 18$$
2. 2
   Все 45 спортсменок имеют одинаковую вероятность выступить первыми. Благоприятны 18 исходов — первыми выступают спортсменки из Китая.$$P = \dfrac{18}{45} = 0{,}4$$