Задание 11 ЕГЭ по профильной математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Пусть первый рабочий изготавливает $x$ деталей за час. Тогда второй изготавливает $x-2$ деталей за час.

Время выполнения заказа первым рабочим равно $\dfrac{323}{x}$ часов, а вторым — $\dfrac{323}{x-2}$ часов. По условию второй рабочий тратит на 2 часа больше:$$\dfrac{323}{x-2}-\dfrac{323}{x}=2$$

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость по течению равна $x+2$ км/ч, а скорость против течения — $x-2$ км/ч.

Составим уравнение по условию задачи:$$\dfrac{80}{x+2}+4+\dfrac{80}{x-2}=13$$

Пусть второй рабочий изготавливает $x$ деталей в час. Тогда первый изготавливает $x+8$ деталей в час.

Время изготовления заказа вторым рабочим равно $\dfrac{209}{x}$ часов, а первым — $\dfrac{209}{x+8}$ часов. Первый выполняет заказ на 8 часов быстрее.$$\dfrac{209}{x} - \dfrac{209}{x+8} = 8$$

Вычислим общий путь автомобиля:$$S = 115 \cdot 1 + 45 \cdot 3 + 40 \cdot 2 = 460\ \text{км}$$

Общее время движения равно:$$t = 1 + 3 + 2 = 6\ \text{ч}$$

Найдём расстояние, пройденное на каждом участке пути:$$s_1 = 120 \cdot 1 = 120\text{ км},\quad s_2 = 105 \cdot 3 = 315\text{ км},\quad s_3 = 65 \cdot 3 = 195\text{ км}$$

Определим общий путь и общее время движения:$$S = 120 + 315 + 195 = 630\text{ км},\quad t = 1 + 3 + 3 = 7\text{ ч}$$

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость по течению равна $x+3$ км/ч, а скорость против течения — $x-3$ км/ч.$$x>3$$

Время движения теплохода по течению и против течения вместе составляет $54-6=48$ часов.$$\dfrac{567}{x+3}+\dfrac{567}{x-3}=48$$

Пусть вторая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда первая труба пропускает $x-6$ литров в минуту.

Время заполнения резервуара первой трубой на 6 минут больше времени заполнения второй трубы.$$\dfrac{112}{x-6}-\dfrac{112}{x}=6$$

Найдём время движения теплохода без стоянки:$$32-5=27\text{ ч}$$

Скорость теплохода по течению равна $28$ км/ч, а против течения — $26$ км/ч.$$v_{\text{по течению}}=27+1=28,\quad v_{\text{против течения}}=27-1=26$$

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость лодки против течения равна $15-x$, а по течению — $15+x$.$$v_{\text{пр}}=15-x,\quad v_{\text{по}}=15+x$$

Время движения против течения на 14 часов больше времени движения по течению.$$\frac{280}{15-x}-\frac{280}{15+x}=14$$

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+9$ км/ч.

Время движения второго велосипедиста на 9 часов больше времени движения первого.$$\dfrac{190}{x} - \dfrac{190}{x+9} = 9$$

Пусть скорость баржи на пути из A в B равна $x$ км/ч. Тогда время движения из A в B равно:$$\dfrac{288}{x}$$

Скорость на обратном пути равна $x+1$ км/ч, а время обратного пути с учётом остановки составляет:$$\dfrac{288}{x+1}+4$$

Пусть масса первого сплава равна $x$ кг. Тогда масса второго сплава равна $x+90$ кг, а масса третьего сплава — $2x+90$ кг.$$m_1=x,\quad m_2=x+90,\quad m_3=2x+90$$

Составим уравнение по массе меди в сплавах.$$0{,}6x+0{,}1(x+90)=0{,}2(2x+90)$$

Второй автомобиль проехал до встречи расстояние $500-260=240$ км.

Время движения второго автомобиля составляет $240:80=3$ ч.

Пусть всего имеется $4k$ контейнеров. Тогда контейнеров с сахарным песком $k$, а без сахарного песка — $3k$.

Проверим пункт а). Для доли $20\%$ масса контейнеров с сахаром должна составлять одну пятую общей массы. Возьмём $k=2$. Пусть оба контейнера с сахаром имеют массу по 20 тонн. Тогда их масса равна 40 тонн. Среди шести остальных контейнеров…

Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна $x$ км/ч. Тогда скорость на обратном пути равна $x+6$ км/ч.

По условию время движения из А в В равно времени обратного пути с учётом остановки:$$\dfrac{108}{x}=\dfrac{108}{x+6}+3$$

Обозначим скорость течения реки через $x$ км/ч. Тогда скорость лодки против течения равна $9-x$, а по течению — $9+x$.

Время движения против течения равно $\dfrac{72}{9-x}$, а время движения по течению — $\dfrac{72}{9+x}$. По условию обратный путь занял на 6 часов меньше:$$\dfrac{72}{9-x} - \dfrac{72}{9+x} = 6$$

Производительность первого мастера равна $\dfrac{1}{40}$ заказа в час, а второго — $\dfrac{1}{24}$ заказа в час.$$\frac{1}{40},\quad \frac{1}{24}$$

При совместной работе производительности складываются:$$\frac{1}{40}+\frac{1}{24}=\frac{3}{120}+\frac{5}{120}=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}$$

Пусть первый рабочий изготавливает $x$ деталей в час. Тогда второй рабочий изготавливает $x-7$ деталей в час.

Время выполнения заказа первым рабочим равно $\dfrac{198}{x}$ часов, а вторым — $\dfrac{198}{x-7}$ часов. По условию второй рабочий тратит на 7 часов больше:$$\dfrac{198}{x-7}-\dfrac{198}{x}=7$$

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость по течению равна $x+4$, а против течения — $x-4$.$$x+4,\quad x-4$$

На стоянку ушло 5 часов, поэтому суммарное время движения теплохода равно $10-5=5$ часов.$$\frac{48}{x+4}+\frac{48}{x-4}=5$$

Плот движется со скоростью течения, поэтому время его движения до возвращения яхты равно:$$t_{\text{плота}}=\frac{92}{4}=23\ \text{ч}$$

Яхта отправилась через 3 часа после плота, значит, она находилась в пути:$$t_{\text{яхты}}=23-3=20\ \text{ч}$$