Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Тригонометрия» — с ответами

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $5\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{8}\cdot\cos\frac{3\pi}{8}$.

1. 1
   Применим формулу двойного угла для синуса:$$2\sin x\cos x=\sin 2x$$
2. 2
   Преобразуем исходное выражение:$$5\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\sin\frac{3\pi}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $\sqrt{2}-2\sqrt{2}\sin^2\dfrac{15\pi}{8}$.

1. 1
   Вынесем множитель $\sqrt{2}$ за скобки и применим формулу двойного угла.$$\sqrt{2}-2\sqrt{2}\sin^2\dfrac{15\pi}{8}=\sqrt{2}\left(1-2\sin^2\dfrac{15\pi}{8}\right)=\sqrt{2}\cos\dfrac{15\pi}{4}$$
2. 2
   Сократим аргумент косинуса с учётом периода $2\pi$.$$\cos\dfrac{15\pi}{4}=\cos\left(\dfrac{15\pi}{4}-2\pi\right)=\cos\dfrac{7\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $\sqrt{2}\sin\frac{7\pi}{8}\cdot\cos\frac{7\pi}{8}$.

1. 1
   Применим формулу произведения синуса и косинуса.$$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$$
2. 2
   Подставим $x=\frac{7\pi}{8}$ и вычислим синус получившегося угла.$$\sqrt{2}\sin\frac{7\pi}{8}\cos\frac{7\pi}{8}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{1}{2}$$

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $2\sqrt{3}\cos^2\frac{13\pi}{12}-\sqrt{3}$.

1. 1
   Применим формулу двойного угла для квадрата косинуса:$$\cos^2\frac{13\pi}{12}=\frac{1+\cos\frac{13\pi}{6}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$$
2. 2
   Подставим найденное значение в исходное выражение:$$2\sqrt{3}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{2}-\sqrt{3}=\frac{3}{2}$$

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $4\sqrt{2} - 8\sqrt{2}\sin^2\frac{7\pi}{8}$.

1. 1
   Сначала заменим угол, используя формулу приведения:$$\sin\frac{7\pi}{8}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{8}\right)=\sin\frac{\pi}{8}$$
2. 2
   Вычислим квадрат синуса половинного угла:$$\sin^2\frac{\pi}{8}=\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{8\sin 64^\circ \cdot \cos 64^\circ}{\sin 128^\circ}$.

1. 1
   Применим формулу синуса двойного угла:$$\sin 2x=2\sin x\cos x$$
2. 2
   При $x=64^\circ$ получаем:$$2\sin 64^\circ\cos 64^\circ=\sin 128^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $3\cos 2\alpha$, если $\sin\alpha = 0{,}6$.

1. 1
   Применим формулу косинуса двойного угла, выраженную через синус:$$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$$
2. 2
   Подставим известное значение синуса:$$\cos 2\alpha = 1 - 2\cdot 0{,}6^2 = 1 - 0{,}72 = 0{,}28$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $3\cos 2\alpha$, если $\cos\alpha=-0{,}8$.

1. 1
   Применим формулу косинуса двойного угла:$$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$$
2. 2
   Подставим значение $\cos\alpha=-0{,}8$:$$\cos 2\alpha=2\cdot(-0{,}8)^2-1=2\cdot0{,}64-1=0{,}28$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $3\sqrt{3}-6\sqrt{3}\sin^2\dfrac{13\pi}{12}$.

1. 1
   Представим угол как сумму $\pi+\dfrac{\pi}{12}$ и найдём квадрат синуса:$$\sin^2\dfrac{13\pi}{12}=\sin^2\dfrac{\pi}{12}=\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)^2=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$$
2. 2
   Подставим найденное значение в выражение:$$3\sqrt{3}-6\sqrt{3}\cdot\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $4\sqrt{3}\cos^2\frac{23\pi}{12}-4\sqrt{3}\sin^2\frac{23\pi}{12}$.

1. 1
   Вынесем общий множитель $4\sqrt{3}$ и применим основное тригонометрическое тождество.$$4\sqrt{3}\left(\cos^2\frac{23\pi}{12}-\sin^2\frac{23\pi}{12}\right)=4\sqrt{3}\cos\frac{23\pi}{6}$$
2. 2
   С учётом периодичности косинуса получаем значение угла и косинуса:$$\cos\frac{23\pi}{6}=\cos\frac{11\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{4\sin 41^\circ \cdot \cos 41^\circ}{\sin 82^\circ}$.

1. 1
   Применим формулу синуса двойного угла к произведению $\sin 41^\circ\cdot\cos 41^\circ$.$$\sin 82^\circ = 2\sin 41^\circ\cos 41^\circ$$
2. 2
   Преобразуем числитель выражения:$$4\sin 41^\circ\cos 41^\circ = 2\sin 82^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тангенса угла

Найдите значение выражения $\tg\alpha$, если $\cos\alpha = \dfrac{5\sqrt{26}}{26}$ и $\alpha \in \left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$.

1. 1
   Так как $\alpha \in \left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$, синус угла положителен. Найдём его из основного тригонометрического тождества.$$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{5\sqrt{26}}{26}\right)^2} = \sqrt{1 - \dfrac{25}{26}} = \dfrac{1}{\sqrt{26}}$$
2. 2
   Вычислим тангенс как отношение синуса к косинусу.$$\tg\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{1/\sqrt{26}}{5/\sqrt{26}} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$$

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{2\sin 70^\circ}{\cos 35^\circ \cdot \cos 55^\circ}$.

1. 1
   Преобразуем синус двойного угла:$$\sin70^\circ=\sin(2\cdot35^\circ)=2\sin35^\circ\cos35^\circ$$
2. 2
   Выразим косинус угла $55^\circ$ через синус угла $35^\circ$:$$\cos55^\circ=\cos(90^\circ-35^\circ)=\sin35^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $8\sqrt{3}\cos^2\dfrac{\pi}{12}-4\sqrt{3}$.

1. 1
   Применим формулу понижения степени косинуса:$$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}$$
2. 2
   Для $\alpha=\frac{\pi}{12}$ имеем:$$\cos^2\frac{\pi}{12}=\frac{1+\cos\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{4\sin 154^\circ}{\sin 77^\circ \cdot \sin 13^\circ}$.

1. 1
   Представим угол $154^\circ$ как удвоенный угол $77^\circ$ и применим формулу синуса двойного угла.$$\sin 154^\circ = \sin(2\cdot77^\circ)=2\sin77^\circ\cos77^\circ$$
2. 2
   Используем равенство coфункций: $\cos77^\circ=\sin(90^\circ-77^\circ)=\sin13^\circ$.$$\frac{4\sin154^\circ}{\sin77^\circ\cdot\sin13^\circ}=\frac{4\cdot2\sin77^\circ\cos77^\circ}{\sin77^\circ\cdot\sin13^\circ}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{8\sin 82^\circ \cdot \cos 82^\circ}{\sin 164^\circ}$.

1. 1
   Представим угол $164^\circ$ как удвоенный угол $82^\circ$ и применим формулу синуса двойного угла.$$\sin 164^\circ=\sin(2\cdot82^\circ)=2\sin82^\circ\cos82^\circ$$
2. 2
   Подставим полученное выражение в исходную дробь и сократим.$$\frac{8\sin82^\circ\cos82^\circ}{\sin164^\circ}=\frac{8\sin82^\circ\cos82^\circ}{2\sin82^\circ\cos82^\circ}=4$$

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{14\sin 51^\circ \cdot \cos 51^\circ}{\sin 102^\circ}$.

1. 1
   Применим формулу синуса двойного угла к произведению в числителе.$$\sin 102^\circ = 2\sin 51^\circ\cos 51^\circ$$
2. 2
   Следовательно, произведение синуса и косинуса равно:$$\sin 51^\circ\cos 51^\circ = \dfrac{\sin 102^\circ}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{3\sin 164^\circ}{\sin 82^\circ\cdot\sin 8^\circ}$.

1. 1
   Преобразуем синус в числителе по формуле приведения:$$\sin 164^\circ=\sin(180^\circ-16^\circ)=\sin 16^\circ$$
2. 2
   Преобразуем произведение синусов в знаменателе:$$2\sin 82^\circ\sin 8^\circ=\cos(82^\circ-8^\circ)-\cos(82^\circ+8^\circ)=\cos 74^\circ-\cos 90^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{10\sin 72^\circ \cdot \cos 72^\circ}{\sin 144^\circ}$.

1. 1
   Применим формулу синуса двойного угла к произведению в числителе.$$2\sin 72^\circ\cos 72^\circ=\sin 144^\circ$$
2. 2
   Следовательно, числитель равен $5\sin 144^\circ$, поэтому$$\dfrac{10\sin 72^\circ\cos 72^\circ}{\sin 144^\circ}=\dfrac{10}{2}=5$$

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $6\sqrt{3}\cos^2\frac{11\pi}{12}-3\sqrt{3}$.

1. 1
   Применим формулу понижения степени:$$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}$$
2. 2
   Для $\alpha=\frac{11\pi}{12}$ получаем:$$\cos^2\frac{11\pi}{12}=\frac{1+\cos\frac{11\pi}{6}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении