41ФИПИ 2CCC19№ 14Повышенная Решите уравнение $2\sin^2 x+\sqrt{2}\sin(2\pi-x)+\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{6}\cos x$ и найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[-\pi;\frac{\pi}{2}]$.
- 1
Применим формулы приведения и двойного угла:$$\sin(2\pi-x)=-\sin x,\qquad \sin 2x=2\sin x\cos x$$
- 2
Подставим эти выражения в исходное уравнение и перенесём все слагаемые в левую часть:$$2\sin^2x-\sqrt{2}\sin x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sqrt{6}\cos x=0$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
42ФИПИ 2D54B0№ 14Повышенная Решите уравнение $\cos 2x - 3\sin(-x) - 2 = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем синус отрицательного аргумента и косинус двойного угла:$$\cos 2x-3\sin(-x)-2=1-2\sin^2x+3\sin x-2=0$$
- 2
Получаем квадратное уравнение относительно $\sin x$:$$2\sin^2x-3\sin x+1=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
43ФИПИ 30EEA9№ 14Повышенная Решите уравнение $2\sqrt{3}\sin^2\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)+\sin 2x=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\dfrac{5\pi}{2}\right]$.
- 1
Используем тождество $\sin\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)=-\cos x$ и формулу двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$.$$2\sqrt{3}\cos^2x+2\sin x\cos x=0$$
- 2
Вынесем общий множитель:$$2\cos x\left(\sqrt{3}\cos x+\sin x\right)=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Решите уравнение $2 + 2\cos(\pi - 2x) + \sqrt{8}\sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\sin x$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi; \dfrac{9\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем косинус двойного угла:$$\cos(\pi - 2x) = -\cos 2x = 2\sin^2 x - 1$$
- 2
Подставим это выражение в исходное уравнение и учтём, что $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$:$$4\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3}\sin x$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
45ФИПИ 34CAC3№ 14Повышенная Решите уравнение $2\sin^2 x+\cos(-x)-1=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{9\pi}{2};-3\pi\right]$.
- 1
Так как косинус является чётной функцией, заменим $\cos(-x)$ на $\cos x$:$$2\sin^2 x+\cos x-1=0$$
- 2
Выразим квадрат синуса через косинус:$$2(1-\cos^2 x)+\cos x-1=0$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
а) Решите уравнение $4\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\cos(\pi-x)=2$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{17\pi}{2};\,10\pi\right]$.
- 1
Преобразуем косинус суммы и косинус разности:$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos x-\sin x}{\sqrt{2}},\qquad \cos(\pi-x)=-\cos x$$
- 2
Подставляем формулы в исходное уравнение:$$4\cdot\frac{\cos x-\sin x}{\sqrt{2}}+2\sqrt{2}(-\cos x)=2$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
47ФИПИ 3BB500№ 14Повышенная Решите уравнение $2\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin 2x=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]$.
- 1
Используем тождество $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$ и формулу двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$.$$2\cos^2x+2\sin x\cos x=0$$
- 2
Вынесем общий множитель.$$2\cos x(\cos x+\sin x)=0$$
Ещё 3 шага — в полном решении
48ФИПИ 46249A№ 14Повышенная Решите уравнение $2\cos^2 x + 3\sin(-x) - 3 = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем синус отрицательного аргумента и выразим квадрат косинуса через синус:$$\sin(-x)=-\sin x,\qquad \cos^2x=1-\sin^2x$$
- 2
Подставим эти выражения в исходное уравнение:$$2(1-\sin^2x)-3\sin x-3=0$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
49ФИПИ 4EFD3D№ 14Повышенная Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{2}\sin(x + \pi) = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем синус суммы и синус двойного угла:$$\sin 2x + \sqrt{2}\sin(x+\pi)=2\sin x\cos x-\sqrt{2}\sin x$$
- 2
Вынесем общий множитель:$$\sin x(2\cos x-\sqrt{2})=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
а) Решите уравнение $49^{\sin x}=\left(\frac{1}{7}\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x}$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$.
- 1
Представим левую часть и правую часть уравнения как степени числа $7$:$$49^{\sin x}=7^{2\sin x},\qquad \left(\frac{1}{7}\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x}=7^{\sqrt{2}\sin 2x}$$
- 2
Так как основание $7$ положительно и не равно единице, приравняем показатели степеней:$$2\sin x=\sqrt{2}\sin 2x$$
Ещё 4 шага — в полном решении
51ФИПИ 51D289№ 14Повышенная а) Решите уравнение $27 \cdot 81^{\sin x} - 12 \cdot 9^{\sin x} + 1 = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right]$.
- 1
Сделаем замену $y = 9^{\sin x}$. Тогда $81^{\sin x} = y^2$, поскольку $81 = 9^2$. Получаем квадратное уравнение:$$27y^2 - 12y + 1 = 0$$
- 2
Найдём корни квадратного уравнения:$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 27 \cdot 1 = 36$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
а) Решите уравнение $\left(\dfrac{1}{49}\right)^{\sin(x+\pi)}=7^{2\sqrt{3}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку…
- 1
Преобразуем левую часть уравнения, используя $49=7^2$:$$\left(\frac{1}{49}\right)^{\sin(x+\pi)}=7^{-2\sin(x+\pi)}$$
- 2
Применяем формулы приведения:$$-2\sin(x+\pi)=2\sin x, \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$$
Ещё 4 шага — в полном решении
а) Решите уравнение $16^{\sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5\pi; -\dfrac{7\pi}{2}\right]$.
- 1
Поскольку $16^{\sin x} = \left(4^{\sin x}\right)^2$, введём замену $t = 4^{\sin x}$. Так как $4^{\sin x} > 0$, имеем $t > 0$.$$t^2 - 6t + 8 = 0$$
- 2
Решим квадратное уравнение.$$(t-2)(t-4)=0,\quad t=2\ или\ t=4$$
Ещё 4 шага — в полном решении
54ФИПИ 5Ae77D№ 14Повышенная а) Решите уравнение $2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку…
- 1
Применим формулу приведения:$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$$
- 2
Раскроем косинус разности:$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x+\sin x)$$
Ещё 7 шагов — в полном решении
55ФИПИ 5e5cF2№ 14Повышенная а) Решите уравнение $2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку…
- 1
Применим формулы приведения и формулу синуса разности:$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x,\quad \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{2}}$$
- 2
Подставим эти выражения в исходное уравнение и разделим обе части на $\sqrt{2}$:$$\sqrt{2}(\sin x-\cos x)-2\sqrt{2}\sin x=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Решите уравнение $8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{\cos^2 x} = 63$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7\pi}{2};\,5\pi\right]$.
- 1
Так как $0 \leq \sin^2 x \leq 1$, введём замену $t = 4^{\sin^2 x}$. Тогда $1 \leq t \leq 4$.
- 2
Используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и выразим вторую степень:$$4^{\cos^2 x}=4^{1-\sin^2 x}=\frac{4}{4^{\sin^2 x}}=\frac{4}{t}$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
а) Решите уравнение $2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\cos^2x=\cos x-2\sqrt{3}$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]$.
- 1
Раскроем синус суммы:$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\sin x+\cos x$$
- 2
Подставим это выражение в исходное уравнение и сократим слагаемые $\cos x$:$$\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{3}\cos^2x+2\sqrt{3}=0$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
58ФИПИ 685C13№ 14Повышенная Решите уравнение $\cos 2x-\sqrt{2}\sin(x+\pi)-1=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$.
- 1
Применим формулу приведения: $\sin(x+\pi)=-\sin x$. Тогда исходное уравнение принимает вид$$\cos 2x+\sqrt{2}\sin x-1=0$$
- 2
Выразим косинус двойного угла через синус:$$1-2\sin^2x+\sqrt{2}\sin x-1=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Решите уравнение. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие заданному отрезку.
- 1
В условии отсутствует формула уравнения.
- 2
Также не указаны границы отрезка, на котором требуется выбрать корни.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Решите уравнение $\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sin^2x=\sin x+2$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем первый член уравнения:$$\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sin x+\cos x$$
- 2
Подставим это в исходное уравнение и перенесём все слагаемые в левую часть:$$2\sin^2x-\sin x+\cos x-2=0$$
Ещё 7 шагов — в полном решении