Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Тригонометрия» — с ответами

Нахождение тангенса по косинусу

Найдите $\tg\alpha$, если $\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{26}}{26}$ и $\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right)$.

1. 1
   Угол $\alpha$ расположен во второй четверти, поэтому $\sin\alpha>0$, а $\cos\alpha<0$.
2. 2
   Найдём синус по основному тригонометрическому тождеству.$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\left(-\frac{\sqrt{26}}{26}\right)^2=1-\frac{1}{26}=\frac{25}{26}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Преобразование тригонометрического выражения

Найдите значение выражения, если заданы два тригонометрических условия.

1. 1
   На предоставленном изображении отсутствуют отображаемые формулы искомого выражения и заданных условий.
2. 2
   Без этих формул невозможно определить единственный числовой ответ.

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $3\sqrt{2}\cos^2\frac{9\pi}{8}-3\sqrt{2}\sin^2\frac{9\pi}{8}$.

1. 1
   Вынесем общий множитель $3\sqrt{2}$ и используем основное тригонометрическое тождество.$$3\sqrt{2}\left(\cos^2\frac{9\pi}{8}-\sin^2\frac{9\pi}{8}\right)=3\sqrt{2}\cos\frac{9\pi}{4}$$
2. 2
   Так как $\frac{9\pi}{4}=2\pi+\frac{\pi}{4}$, значение косинуса равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.$$3\sqrt{2}\cos\frac{9\pi}{4}=3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=3$$

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $5\sqrt{2}\cos^2\frac{7\pi}{8}-5\sqrt{2}\sin^2\frac{7\pi}{8}$.

1. 1
   Вынесем общий множитель и применим формулу разности квадратов косинуса и синуса.$$5\sqrt{2}\left(\cos^2\frac{7\pi}{8}-\sin^2\frac{7\pi}{8}\right)=5\sqrt{2}\cos\frac{7\pi}{4}$$
2. 2
   Значение косинуса угла $\frac{7\pi}{4}$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.$$5\sqrt{2}\cos\frac{7\pi}{4}=5\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=5$$

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $18\sqrt{2}\tg\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{4}$.

1. 1
   Используем табличные значения тригонометрических функций:$$\tg\dfrac{\pi}{4}=1,\qquad \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
2. 2
   Подставляем их в исходное выражение и упрощаем:$$18\sqrt{2}\cdot 1\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=18$$

Значение косинуса двойного угла

Найдите значение выражения $6\cos 2\alpha$, если $\sin\alpha=-0{,}8$.

1. 1
   Применим формулу косинуса двойного угла через синус:$$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha$$
2. 2
   Подставим значение $\sin\alpha=-0{,}8$:$$\cos 2\alpha=1-2\cdot(-0{,}8)^2=1-1{,}28=-0{,}28$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с косинусом двойного угла

Найдите значение выражения $3\cos 2\alpha$, если $\sin\alpha = 0{,}2$.

1. 1
   Выразим косинус двойного угла через синус угла.$$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$$
2. 2
   Подставим известное значение синуса.$$\cos 2\alpha = 1 - 2\cdot 0{,}2^2 = 1 - 0{,}08 = 0{,}92$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение произведения синуса и косинуса

Найдите значение выражения $3\sin\dfrac{13\pi}{12}\cdot\cos\dfrac{13\pi}{12}$.

1. 1
   Применим формулу двойного угла для синуса:$$2\sin x\cos x=\sin 2x$$
2. 2
   Преобразуем выражение:$$3\sin\dfrac{13\pi}{12}\cos\dfrac{13\pi}{12}=\dfrac{3}{2}\sin\dfrac{13\pi}{6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между движущимися телами

Два тела, массой $m = 6$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v = 9$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу энергии:$$243 = 6 \cdot 9^2 \sin^2\alpha$$
2. 2
   Вычислим значение квадрата синуса:$$\sin^2\alpha = \frac{243}{6 \cdot 81} = \frac{1}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между движущимися телами

Два тела, массой $m = 9$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v = 6$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по…

1. 1
   Подставим в формулу известные значения энергии, массы и скорости.$$81 = 9 \cdot 6^2 \cdot \sin^2\alpha$$
2. 2
   Найдём квадрат синуса угла.$$\sin^2\alpha = \dfrac{81}{9 \cdot 36} = \dfrac{1}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тригонометрическое уравнение и его корни

Решите тригонометрическое уравнение и укажите его корни, принадлежащие заданному отрезку.

1. 1
   В условии отсутствует само тригонометрическое уравнение.
2. 2
   В условии также не указаны границы отрезка, на котором требуется выбрать корни.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение тригонометрического уравнения

Решите уравнение и укажите корни этого уравнения, принадлежащие заданному отрезку.

1. 1
   В распознанном условии отсутствует формула уравнения.
2. 2
   Также не указаны левая и правая границы отрезка, на котором требуется выбрать корни.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тригонометрическое уравнение

а) Решите уравнение $\cos 2x + \cos(-x) = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.

1. 1
   Так как косинус является чётной функцией, $\cos(-x)=\cos x$. Преобразуем уравнение:$$\cos 2x + \cos x = 0$$
2. 2
   Используем формулу двойного угла и обозначим $t=\cos x$:$$2\cos^2 x-1+\cos x=0;\quad 2t^2+t-1=0$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Тригонометрическое уравнение на отрезке

Решите уравнение $\cos 2x-\sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-1=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]$.

1. 1
   Используем тождество для косинуса суммы:$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x$$
2. 2
   Применяем формулу двойного угла $\cos 2x=1-2\sin^2x$:$$1-2\sin^2x-\sqrt{2}\sin x-1=0$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Уравнение с косинусом

а) Решите уравнение $9 \cdot 81^{\cos x} - 28 \cdot 9^{\cos x} + 3 = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2};\,4\pi\right]$.

1. 1
   Представим степени через число $3$ и введём замену $t=3^{\cos x}$. Тогда $81^{\cos x}=t^4$, $9^{\cos x}=t^2$.$$9t^4-28t^2+3=0$$
2. 2
   Обозначим $y=t^2$. Решаем квадратное уравнение относительно $y$.$$9y^2-28y+3=0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Степенно-тригонометрическое уравнение

Решите уравнение $16^{\sin x}+16^{\sin(x+\pi)}=\dfrac{17}{4}$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right]$.

1. 1
   Так как $\sin(x+\pi)=-\sin x$, преобразуем вторую степень:$$16^{\sin(x+\pi)}=16^{-\sin x}=\frac{1}{16^{\sin x}}$$
2. 2
   Введём замену $t=16^{\sin x}$. Поскольку $t>0$, уравнение принимает вид:$$t+\frac{1}{t}=\frac{17}{4}$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Тригонометрическое уравнение на отрезке

Решите уравнение $\sin 2x + 2\sin(-x) + \cos(-x) - 1 = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$.

1. 1
   Используем формулы для отрицательного аргумента и формулу двойного угла:$$\sin 2x + 2\sin(-x) + \cos(-x) - 1 = 2\sin x\cos x - 2\sin x + \cos x - 1$$
2. 2
   Сгруппируем слагаемые и разложим выражение на множители:$$2\sin x\cos x - 2\sin x + \cos x - 1 = (2\sin x+1)(\cos x-1)$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Тригонометрическое уравнение с косинусом

Решите уравнение $2\cos x-2\sqrt{3}\cos(-x)-4\sin^2x=\sqrt{3}-4$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$.

1. 1
   Так как косинус является чётной функцией, заменим $\cos(-x)$ на $\cos x$, а $\sin^2x$ выразим через косинус:$$\cos(-x)=\cos x,\qquad \sin^2x=1-\cos^2x$$
2. 2
   Подставим эти выражения в исходное уравнение:$$2\cos x-2\sqrt{3}\cos x-4(1-\cos^2x)=\sqrt{3}-4$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Тригонометрическое уравнение с отбором корней

Решите уравнение $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos 2x=3\cos x+1$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;\,-\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

1. 1
   Раскроем скобки и преобразуем двойной угол:$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt3\cos x,\qquad \cos 2x=2\cos^2x-1$$
2. 2
   Подставим эти выражения в исходное уравнение:$$\sin x+\sqrt3\cos x+2\cos^2x-1=3\cos x+1$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Тригонометрическое уравнение на отрезке

а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{2}\cos(x+\pi)+1=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]$.

1. 1
   Преобразуем косинус суммы и косинус двойного угла:$$\cos(x+\pi)=-\cos x,\qquad \cos 2x=2\cos^2x-1$$
2. 2
   Подставим эти выражения в исходное уравнение:$$2\cos^2x-1-\sqrt{2}\cos x+1=0$$

Ещё 3 шага — в полном решении