Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Алгебраические уравнения» — с ответами

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{5}\right)^{x-5}=125$.

1. 1
   Представим левую часть и число $125$ как степени с основанием $5$.$$\left(\frac{1}{5}\right)^{x-5}=\left(5^{-1}\right)^{x-5}=5^{-(x-5)},\quad 125=5^3$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели.$$-(x-5)=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $5^{11-x}=25$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень числа $5$:$$25=5^2$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$11-x=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $2^{-4-x}=16$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $2$:$$16=2^4$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$-4-x=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{3}(x+64)=4$.

1. 1
   Переходим от логарифмической формы уравнения к показательной:$$x+64=3^4$$
2. 2
   Вычисляем значение степени и выражаем корень уравнения:$$x+64=81,\quad x=81-64=17$$

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $6^{x-5}=36$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $6$:$$36=6^2$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$x-5=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $4^{x-12} = \dfrac{1}{64}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $4$:$$\dfrac{1}{64} = \dfrac{1}{4^3} = 4^{-3}$$
2. 2
   Приравняем показатели степеней с одинаковым основанием:$$x - 12 = -3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{3}(x+4)=\log_{3}16$.

1. 1
   Основания логарифмов одинаковы и равны $3$, поэтому приравниваем аргументы:$$x+4=16$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$x=16-4=12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{3}\right)^{3-x}=81$.

1. 1
   Преобразуем левую часть и представим $81$ как степень числа $3$.$$\left(\frac{1}{3}\right)^{3-x}=3^{-(3-x)}=3^{x-3},\quad 81=3^4$$
2. 2
   Так как основания степеней равны, приравниваем показатели.$$x-3=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x-5}=\dfrac{1}{16}$.

1. 1
   Представим число $\dfrac{1}{16}$ как степень числа $\dfrac{1}{4}$:$$\dfrac{1}{16}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^2$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравняем показатели:$$x-5=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $5^{2-x}=125$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени числа $5$:$$125=5^3$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$2-x=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $3^{x-10} = \dfrac{1}{81}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень с основанием $3$:$$\dfrac{1}{81} = \dfrac{1}{3^4} = 3^{-4}$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$x - 10 = -4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $3^{x-11} = \dfrac{1}{27}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень числа $3$:$$\dfrac{1}{27} = \dfrac{1}{3^3} = 3^{-3}$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы и не равны единице, поэтому приравниваем показатели:$$x - 11 = -3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{4}(x-4)=3$.

1. 1
   По определению логарифма преобразуем уравнение в показательное:$$x-4=4^3$$
2. 2
   Вычисляем значение переменной:$$x=4^3+4=64+4=68$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $3^{x+6}=9^{2x}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $3$:$$9^{2x}=(3^2)^{2x}=3^{4x}$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравняем показатели:$$x+6=4x$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $3^{x+2}=81$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $3$:$$81=3^4$$
2. 2
   Приравняем показатели степеней:$$x+2=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $8^{9-x}=64$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $8$:$$64=8^2$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$9-x=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{6}\right)^{x-2}=6^x$.

1. 1
   Преобразуем правую часть уравнения к основанию $\dfrac{1}{6}$:$$6^x=\left(\dfrac{1}{6}\right)^{-x}$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравниваем показатели:$$x-2=-x$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $2^{11-x}=32$.

1. 1
   Представим число $32$ в виде степени двойки:$$32=2^5$$
2. 2
   Приравняем показатели степеней с одинаковым основанием:$$11-x=5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $3^{x-5} = \dfrac{1}{27}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $3$:$$\dfrac{1}{27} = \dfrac{1}{3^3} = 3^{-3}$$
2. 2
   Приравняем показатели степеней с одинаковым основанием:$$x - 5 = -3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $5^{x-2}=125$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень числа $5$:$$125=5^3$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$x-2=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении