Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Логарифмические выражения» — с ответами

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $8\log_{5}\sqrt[4]{5}$.

1. 1
   Представим арифметический корень в виде степени:$$\sqrt[4]{5}=5^{\frac{1}{4}}$$
2. 2
   Применим свойство логарифма степени:$$\log_{5}5^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма логарифмов по основанию 2

Найдите значение выражения $\log_{2} 6{,}4 + \log_{2} 10$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_{2} 6{,}4 + \log_{2} 10 = \log_{2}(6{,}4 \cdot 10)$$
2. 2
   Вычислим произведение аргументов и представим результат как степень двойки:$$6{,}4 \cdot 10 = 64 = 2^6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{3}162 - \log_{3}2$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковыми основаниями.$$\log_{3}162 - \log_{3}2 = \log_{3}\left(\dfrac{162}{2}\right)$$
2. 2
   Упростим аргумент логарифма и представим число 81 как степень числа 3.$$\log_{3}81 = \log_{3}3^4 = 4$$

Степень с логарифмическим показателем

Найдите значение выражения $6^{\log_{\sqrt{13}}13}$.

1. 1
   Представим основание логарифма в виде степени числа $13$:$$\sqrt{13}=13^{1/2}$$
2. 2
   По определению логарифма найдём показатель степени, в которую нужно возвести $\sqrt{13}$, чтобы получить $13$:$$\log_{\sqrt{13}}13=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_{7} 32}{\log_{7} 2}$.

1. 1
   Представим число $32$ в виде степени числа $2$:$$32 = 2^5$$
2. 2
   Применим свойство логарифма степени:$$\log_{7} 32 = \log_{7}(2^5) = 5\log_{7}2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_{9} 28}{\log_{9} 7}+\log_{7}\dfrac{7}{4}$.

1. 1
   По формуле перехода к новому основанию преобразуем первую дробь логарифмов:$$\dfrac{\log_{9}28}{\log_{9}7}=\log_{7}28$$
2. 2
   Объединяем логарифмы с одинаковым основанием:$$\log_{7}28+\log_{7}\dfrac{7}{4}=\log_{7}\left(28\cdot\dfrac{7}{4}\right)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{0{,}6} 50 - \log_{0{,}6} 18$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием.$$\log_{0{,}6} 50 - \log_{0{,}6} 18 = \log_{0{,}6} \frac{50}{18}$$
2. 2
   Упростим отношение аргументов и представим его как степень основания.$$\frac{50}{18} = \frac{25}{9} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} = 0{,}6^{-2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_2 6{,}4 + \log_2 5$.

1. 1
   Применим свойство сложения логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_2 6{,}4 + \log_2 5 = \log_2(6{,}4 \cdot 5)$$
2. 2
   Вычислим произведение и значение логарифма:$$6{,}4 \cdot 5 = 32,\quad \log_2 32 = 5$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_2 56 - \log_2 7$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_2 56 - \log_2 7 = \log_2 \frac{56}{7}$$
2. 2
   Вычислим частное и представим результат как степень двойки:$$\log_2 \frac{56}{7} = \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{0{,}7} 10 - \log_{0{,}7} 7$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием.$$\log_{0{,}7} 10 - \log_{0{,}7} 7 = \log_{0{,}7} \frac{10}{7}$$
2. 2
   Так как $0{,}7 = \frac{7}{10}$, то $\frac{10}{7} = \frac{1}{0{,}7}$. Логарифм обратного числа равен $-1$.$$\log_{0{,}7} \frac{1}{0{,}7} = -1$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_2 96 - \log_2 3$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_2 96 - \log_2 3 = \log_2 \frac{96}{3}$$
2. 2
   Вычислим частное и представим результат как степень двойки:$$\log_2 \frac{96}{3} = \log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$$

Значение выражения с логарифмами

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_{6}17}{\log_{36}17}$.

1. 1
   Преобразуем логарифмы по формуле перехода к новому основанию.$$\dfrac{\log_{6}17}{\log_{36}17}=\dfrac{\frac{\ln 17}{\ln 6}}{\frac{\ln 17}{\ln 36}}$$
2. 2
   Сокращаем общий множитель $\ln 17$ и учитываем, что $36=6^2$.$$\dfrac{\ln 36}{\ln 6}=\dfrac{\ln(6^2)}{\ln 6}=2$$