Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Теория вероятностей» — с ответами

Вероятность без щелочей

В сборнике билетов по химии 30 билетов, в девяти из них встречается вопрос по теме «Щёлочи». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по…

1. 1
   Число билетов без вопроса по теме «Щёлочи» равно разности общего числа билетов и числа билетов с таким вопросом.$$30 - 9 = 21$$
2. 2
   Вероятность выбираемого события равна отношению числа подходящих билетов к общему числу билетов.$$P = \dfrac{21}{30} = 0.7$$

Вероятность отсутствия дефекта

Фабрика выпускает сумки. В среднем 4 сумки из 50 имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без скрытого дефекта.

1. 1
   Вероятность того, что сумка имеет скрытый дефект, равна отношению числа дефектных сумок к общему числу сумок:$$P(\text{дефект}) = \dfrac{4}{50} = 0{,}08$$
2. 2
   Событие «сумка без скрытого дефекта» является противоположным событию «сумка имеет дефект».$$P(\text{без дефекта}) = 1 - 0{,}08 = 0{,}92$$

Вероятность первого выступления

В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 14 из Аргентины, 10 из Бразилии, 15 из Парагвая и 11 из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется…

1. 1
   Найдём общее число спортсменов:$$14+10+15+11=50$$
2. 2
   Благоприятных исходов 10 — первым выступает спортсмен из Бразилии. Поэтому вероятность равна:$$P=\dfrac{10}{50}=0.2$$

Вероятность доклада из Болгарии

На конференцию приехали учёные из трёх стран: 3 из Дании, 4 из Венгрии и 3 из Болгарии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите…

1. 1
   Всего на конференцию приехали $3+4+3=10$ учёных.
2. 2
   Из них 3 учёных приехали из Болгарии. В случайном порядке каждый участник с одинаковой вероятностью может оказаться седьмым.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность вопроса по теме

В сборнике билетов по истории всего 70 билетов, в 21 из них встречается вопрос по теме «Древняя Греция». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется…

1. 1
   Общее число возможных билетов равно 70, а число благоприятных билетов — 21.$$n = 70,\quad m = 21$$
2. 2
   Вычислим вероятность события по формуле классической вероятности.$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{21}{70} = 0{,}3$$

Вероятность покупки без дефектов

Фабрика выпускает сумки. В среднем 6 сумок из 75 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

1. 1
   Вероятность того, что сумка имеет скрытый дефект, равна отношению числа дефектных сумок к общему числу сумок:$$P(\text{дефект}) = \dfrac{6}{75}$$
2. 2
   События «сумка имеет дефект» и «сумка без дефектов» являются противоположными:$$P(\text{без дефектов}) = 1 - \dfrac{6}{75} = \dfrac{69}{75} = 0{,}92$$

Вероятность ровно четырёх задач

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся А. верно решит больше четырёх задач, равна 0,73. Вероятность того, что А. верно решит больше трёх задач, равна 0,86. Найдите вероятность…

1. 1
   Событие «учащийся решит больше трёх задач» включает два несовместимых случая: он решит ровно 4 задачи или больше 4 задач.$$P(X>3)=P(X=4)+P(X>4)$$
2. 2
   Выразим вероятность решения ровно 4 задач и подставим данные из условия.$$P(X=4)=P(X>3)-P(X>4)=0{,}86-0{,}73=0{,}13$$

Вероятность вопроса по оптике

В сборнике билетов по физике всего 60 билетов, в 24 из них встречается вопрос по теме «Оптика». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по…

1. 1
   Общее число билетов равно 60, из них благоприятных для события «достанется вопрос по теме “Оптика”» — 24.
2. 2
   Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.$$P = \dfrac{24}{60} = 0.4$$

Вероятность выбора туриста

В группе туристов 20 человек. С помощью жребия они выбирают семь человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт…

1. 1
   Из 20 туристов выбирают 7 человек. Для каждого конкретного туриста вероятность попасть в выбранную группу одинакова.$$P=\dfrac{7}{20}$$
2. 2
   Вычислим значение вероятности:$$P=\dfrac{7}{20}=0{,}35$$

Вероятность первого рейса

В группе туристов 30 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Благоприятными являются 6 мест первого рейса, а всего в группе 30 туристов.$$m = 6,\quad n = 30$$
2. 2
   По классическому определению вероятности:$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{6}{30} = 0{,}2$$

Вероятность первого рейса

В группе туристов 20 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Первым рейсом летят 4 человека из 20, причём каждый турист с одинаковой вероятностью может попасть в первый рейс.$$P = \dfrac{4}{20}$$
2. 2
   Вычислим вероятность:$$P = \dfrac{4}{20} = 0{,}2$$

Вероятность не более одного выигрыша

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в…

1. 1
   В каждом матче вероятность того, что команда «Сапфир» начнёт игру с мячом, равна $\frac{1}{2}$.
2. 2
   Подходят два случая: команда не начинает игру ни в одном матче или начинает её ровно в одном матче.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность спортсменки из Эстонии

В чемпионате по гимнастике участвуют 30 спортсменок: 8 из Литвы, 13 из Латвии, остальные — из Эстонии. Порядок, в котором выступают спортсменки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Найдём число спортсменок из Эстонии:$$30 - 8 - 13 = 9$$
2. 2
   Благоприятными являются 9 вариантов выбора первой спортсменки из 30 возможных.$$P = \dfrac{9}{30} = 0{,}3$$

Три броска монетки

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в…

1. 1
   В каждом матче вероятность того, что команда «Биолог» начнёт игру с мячом, равна $\dfrac{1}{2}$.$$P_1 = \dfrac{1}{2}$$
2. 2
   Броски монетки в трёх матчах независимы, поэтому вероятность трёх благоприятных исходов равна произведению вероятностей.$$P = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$$

Вероятность события без вопроса

В сборнике билетов по химии всего 80 билетов, в 56 из них встречается вопрос по теме «Углеводороды». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется…

1. 1
   Найдём количество билетов, в которых нет вопроса по теме «Углеводороды»:$$80 - 56 = 24$$
2. 2
   Вероятность того, что случайно выбранный билет окажется среди этих 24 билетов:$$P = \dfrac{24}{80} = 0{,}3$$

Вероятность выбора билета

В сборнике билетов по географии всего 20 билетов, в семи из них встречается вопрос по теме «Физическая география». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику…

1. 1
   Общее число возможных билетов равно 20, а благоприятных билетов — 7.$$m = 7,\quad n = 20$$
2. 2
   По формуле классической вероятности найдём вероятность нужного события:$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{7}{20} = 0{,}35$$

Вероятность вопроса по теме

В сборнике билетов по географии всего 50 билетов, в пятнадцати из них встречается вопрос по теме «Страны Африки». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику…

1. 1
   Общее число возможных билетов равно 50, число билетов с вопросом по теме «Страны Африки» равно 15.$$P = \dfrac{15}{50}$$
2. 2
   Сократим дробь и представим её в виде десятичной дроби.$$P = \dfrac{15}{50} = 0{,}3$$

Вероятность выступления спортсмена

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 7 спортсменов из Германии и 9 спортсменов из США. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   При случайной жеребьёвке вероятность выступления двенадцатым для каждого спортсмена одинакова.
2. 2
   Благоприятных спортсменов 7, а всего спортсменов 20, поэтому вероятность равна:$$P = \dfrac{7}{20} = 0{,}35$$

Вероятность запасной аудитории

На олимпиаде по математике 550 участников разместили в четырёх аудиториях. В первых трёх удалось разместить по 110 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите…

1. 1
   В первых трёх аудиториях разместили $3 \cdot 110 = 330$ участников.$$3 \cdot 110 = 330$$
2. 2
   Число участников в запасной аудитории равно разности общего числа участников и числа размещённых в первых трёх аудиториях.$$550 - 330 = 220$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность исправного насоса

В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 12 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

1. 1
   Найдём количество насосов, которые не подтекают:$$2000 - 12 = 1988$$
2. 2
   Вероятность выбрать насос, который не подтекает, равна отношению числа таких насосов к общему числу насосов:$$P = \dfrac{1988}{2000} = 0{,}994$$