Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Теория вероятностей» — с ответами

Вероятность остатка кофе

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате…

1. 1
   Обозначим события: $A$ — кофе закончится в первом автомате, $B$ — кофе закончится во втором автомате. Найдём вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате.$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
2. 2
   Подставим значения из условия:$$P(A \cup B) = 0{,}2 + 0{,}2 - 0{,}12 = 0{,}28$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность брака батарейки

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того…

1. 1
   Событие «батарейка будет забракована» может произойти в двух случаях: батарейка неисправна и её забраковали либо батарейка исправна, но её забраковали по ошибке.$$P(A)=P(B)P(A\mid B)+P(\overline{B})P(A\mid\overline{B})$$
2. 2
   Вероятность того, что батарейка неисправна и будет забракована, равна $0{,}04\cdot0{,}96$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Вероятность выбора фломастеров

В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

1. 1
   Всего в коробке $11 + 6 + 8 = 25$ фломастеров. Число способов выбрать два фломастера:$$\binom{25}{2} = 300$$
2. 2
   Благоприятные исходы состоят в выборе одного синего и одного красного фломастера:$$11 \cdot 6 = 66$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность попаданий по мишеням

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в три первые мишени…

1. 1
   Вероятность попадания в каждую из трёх первых мишеней равна $0{,}9$, поэтому вероятность попасть во все три равна:$$0{,}9^3$$
2. 2
   Вероятность не попасть в последнюю мишень равна $1 - 0{,}9 = 0{,}1$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность остатка кофе

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате…

1. 1
   Обозначим события $A$ и $B$: кофе закончился соответственно в первом и втором автомате.
2. 2
   Найдём вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате, по формуле сложения вероятностей.$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=0{,}2+0{,}2-0{,}07=0{,}33$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Минимальное число выстрелов

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью $0{,}5$ при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно…

1. 1
   Вероятность промаха при одном выстреле равна $1 - 0{,}5 = 0{,}5$. Вероятность промахнуться всеми $n$ выстрелами равна $0{,}5^n$.$$P(\text{ни одного попадания})=0{,}5^n$$
2. 2
   Вероятность хотя бы одного попадания должна быть не меньше $0{,}7$:$$1-0{,}5^n\geqslant 0{,}7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность неперегорания ламп

Помещение освещается фонарём с четырьмя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года…

1. 1
   Найдём вероятность противоположного события: все четыре лампы перегорели.$$P(\text{все перегорели}) = 0{,}4^4$$
2. 2
   Так как лампы перегорают независимо, вероятности перемножаются.$$0{,}4^4 = 0{,}0256$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность остатка кофе

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате…

1. 1
   Обозначим события $A$ и $B$: кофе закончится соответственно в первом и втором автомате.
2. 2
   Найдём вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате:$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=0{,}1+0{,}1-0{,}03=0{,}17$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Минимальное число выстрелов

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать…

1. 1
   Вероятность промаха при одном выстреле равна $1 - 0{,}5 = 0{,}5$. Вероятность промаха при всех $n$ выстрелах равна $0{,}5^n$.$$P(\text{ни одного попадания}) = 0{,}5^n$$
2. 2
   Вероятность хотя бы одного попадания должна быть не меньше $0{,}8$:$$1 - 0{,}5^n \geq 0{,}8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность брака батарейки

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,06. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того…

1. 1
   Рассмотрим два несовместных случая: батарейка неисправна и батарейка исправна. Вероятность исправной батарейки равна $1-0{,}06=0{,}94$.$$P(\text{исправна})=1-0{,}06=0{,}94$$
2. 2
   По формуле полной вероятности найдём вероятность того, что батарейка будет забракована:$$P=0{,}06\cdot0{,}96+0{,}94\cdot0{,}01$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Кофе в двух автоматах

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате…

1. 1
   Обозначим события $A$ и $B$: кофе закончится соответственно в первом и втором автомате.$$P(A)=P(B)=0{,}2,\quad P(A\cap B)=0{,}18$$
2. 2
   Найдём вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате.$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}2+0{,}2-0{,}18=0{,}22$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Попадание по мишеням

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени…

1. 1
   Вероятность попадания равна $0{,}9$, поэтому вероятность промаха равна:$$1 - 0{,}9 = 0{,}1$$
2. 2
   События, описывающие результаты отдельных выстрелов, независимы. Поэтому перемножаем вероятности двух попаданий и двух промахов:$$P = 0{,}9^2 \cdot 0{,}1^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Попадание в мишени

Стрелок стреляет по одному разу по каждой из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,4. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и…

1. 1
   Вероятность попадания в первую мишень равна $0{,}4$, а вероятность промаха по каждой из трёх последних мишеней равна $1 - 0{,}4 = 0{,}6$.$$P(\text{промах}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$$
2. 2
   Так как выстрелы независимы, перемножаем вероятности нужных событий.$$P = 0{,}4 \cdot 0{,}6^3 = 0{,}0864$$

Вероятность массы буханки

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса буханки окажется…

1. 1
   Пусть $A$ — событие, состоящее в том, что масса буханки меньше 810 г, а $B$ — событие, состоящее в том, что масса буханки больше 790 г. Искомое событие — это $A \cap B$.
2. 2
   Событие $A \cup B$ является достоверным: любая масса либо меньше 810 г, либо больше 790 г.$$P(A \cup B)=1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность брака батарейки

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того…

1. 1
   Рассмотрим два несовместных случая: батарейка неисправна или исправна. Вероятность исправной батарейки равна $1-0{,}05=0{,}95$.$$P(\overline{B})=1-P(B)=1-0{,}05=0{,}95$$
2. 2
   По формуле полной вероятности найдём вероятность того, что батарейка будет забракована системой.$$P(A)=0{,}05\cdot0{,}99+0{,}95\cdot0{,}01$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выбора фломастеров

В коробке 6 синих, 9 красных и 10 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

1. 1
   Всего в коробке $6 + 9 + 10 = 25$ фломастеров. Число способов выбрать два фломастера:$$C_{25}^{2} = \frac{25 \cdot 24}{2} = 300$$
2. 2
   Благоприятный исход состоит в выборе одного синего и одного красного фломастера:$$6 \cdot 9 = 54$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность неперегорания ламп

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,9. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы…

1. 1
   Удобно найти вероятность противоположного события — события, при котором все три лампы перегорят.$$P(\text{все перегорят}) = 0{,}9^3$$
2. 2
   Так как перегорание ламп происходит независимо, перемножаем вероятности.$$P(\text{все перегорят}) = 0{,}9^3 = 0{,}729$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность брака батарейки

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,1. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того…

1. 1
   Событие забраковки может произойти в двух случаях: батарейка неисправна и система её забраковала либо батарейка исправна, но система ошибочно её забраковала.$$P(A)=P(B)P(A\mid B)+P(\overline{B})P(A\mid\overline{B})$$
2. 2
   Вероятность исправной батарейки равна $1-0{,}1=0{,}9$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выбрать синий и красный фломастеры

В коробке 4 синих, 3 красных и 9 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

1. 1
   Всего в коробке $4 + 3 + 9 = 16$ фломастеров. Число способов выбрать два фломастера:$$\binom{16}{2} = 120$$
2. 2
   Благоприятный исход состоит в выборе одного синего и одного красного фломастера. Число таких способов:$$4 \cdot 3 = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Попадание в мишени

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в три первые мишени…

1. 1
   Вероятность попадания в каждую из трёх первых мишеней равна $0{,}8$, поэтому вероятность попасть во все три равна:$$0{,}8^3$$
2. 2
   Вероятность не попасть в последнюю мишень равна:$$1 - 0{,}8 = 0{,}2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении