Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Теория вероятностей» — с ответами

Вероятность неперегорания ламп

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,2. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы…

1. 1
   Событие «хотя бы одна лампа не перегорит» противоположно событию «все три лампы перегорят».$$P(\text{все перегорели}) = 0{,}2^3$$
2. 2
   Так как перегорание ламп является независимым событием, перемножаем вероятности.$$P(\text{все перегорели}) = 0{,}2^3 = 0{,}008$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность попадания в интервал

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,95. Вероятность того, что масса буханки окажется…

1. 1
   Вероятность того, что масса буханки окажется не больше 790 г, найдём по формуле вероятности противоположного события.$$P(m\leq790)=1-P(m>790)=1-0{,}84=0{,}16$$
2. 2
   Искомая вероятность равна вероятности массы меньше 810 г за вычетом вероятности массы не больше 790 г.$$P(790<m<810)=P(m<810)-P(m\leq790)=0{,}95-0{,}16=0{,}79$$

Вероятность объединения событий

На экзамене по геометрии школьник должен ответить на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что…

1. 1
   События «вопрос по теме “Вписанная окружность”» и «вопрос по теме “Тригонометрия”» несовместны, поскольку одновременно к этим темам вопрос не относится.$$P(A \cap B)=0$$
2. 2
   Для несовместных событий вероятность наступления одного из них равна сумме вероятностей.$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)=0{,}2+0{,}12=0{,}32$$

Вероятность неперегорания ламп

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,4. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы…

1. 1
   Используем противоположное событие: все три лампы перегорели.$$P(\text{все перегорели})=0{,}4^3=0{,}064$$
2. 2
   Тогда вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит, равна единице минус вероятность перегорания всех ламп.$$P=1-0{,}064=0{,}936$$

Вероятность числа пассажиров

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 23 пассажиров, равна 0,87. Вероятность того, что окажется меньше 14 пассажиров…

1. 1
   Событие «от 14 до 22 пассажиров включительно» получается, если из события «меньше 23 пассажиров» исключить событие «меньше 14 пассажиров».$$P(14 \leq X \leq 22) = P(X < 23) - P(X < 14)$$
2. 2
   Подставим данные из условия и найдём искомую вероятность.$$P(14 \leq X \leq 22) = 0{,}87 - 0{,}61 = 0{,}26$$

Вероятность брака при контроле

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того…

1. 1
   Рассмотрим два несовместных случая: батарейка неисправна или исправна. Вероятность исправной батарейки равна $1-0{,}01=0{,}99$.$$P(\text{исправна})=0{,}99$$
2. 2
   Система забракует батарейку либо если она неисправна и будет обнаружена, либо если она исправна, но будет забракована ошибочно.$$P=0{,}01\cdot0{,}96+0{,}99\cdot0{,}06$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность противоположного события

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем $37\,^{\circ}\mathrm{C}$, равна $0{,}91$. Найдите вероятность того, что в случайный момент…

1. 1
   События «температура ниже $37\,^{\circ}\mathrm{C}$» и «температура $37\,^{\circ}\mathrm{C}$ или выше» являются противоположными.$$P(A)+P(\overline{A})=1$$
2. 2
   Вычислим вероятность противоположного события:$$P(\overline{A})=1-0{,}91=0{,}09$$

Вероятность брака батарейки

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того…

1. 1
   Рассмотрим два несовместимых случая: батарейка неисправна и батарейка исправна. Вероятность исправной батарейки равна $1-0{,}03=0{,}97$.$$P(\overline{B})=1-P(B)=1-0{,}03=0{,}97$$
2. 2
   По формуле полной вероятности найдём вероятность брака батарейки системой контроля:$$P(A)=0{,}03\cdot0{,}91+0{,}97\cdot0{,}01$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Условная вероятность суммы очков

Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 8».

1. 1
   Так как шесть очков не выпало ни в одном из двух бросков, каждый бросок имеет 5 возможных результатов: от 1 до 5. Общее число равновероятных исходов равно$$5 \cdot 5 = 25$$
2. 2
   Сумма очков равна 8 в трёх случаях: $(3;5)$, $(4;4)$ и $(5;3)$.$$N=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выбора фломастеров

В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

1. 1
   Всего в коробке $5 + 9 + 11 = 25$ фломастеров. Число способов выбрать два фломастера:$$C_{25}^{2} = \frac{25 \cdot 24}{2} = 300$$
2. 2
   Один синий и один красный фломастер можно выбрать $5 \cdot 9 = 45$ способами.$$m = 5 \cdot 9 = 45$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность брака при контроле

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того…

1. 1
   Пусть $B$ — событие «батарейка неисправна», а $A$ — событие «система забраковала батарейку». Тогда $P(B)=0{,}01$, $P(\overline{B})=0{,}99$, $P(A\mid B)=0{,}93$, $P(A\mid\overline{B})=0{,}03$.
2. 2
   По формуле полной вероятности найдём вероятность того, что батарейка будет забракована.$$P(A)=P(B)P(A\mid B)+P(\overline{B})P(A\mid\overline{B})=0{,}01\cdot0{,}93+0{,}99\cdot0{,}03=0{,}0093+0{,}0297=0{,}039$$

Попадание в мишени

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и…

1. 1
   Вероятность попадания в первую мишень равна $0{,}8$, а вероятность промаха по каждой из трёх последних мишеней равна:$$1-0{,}8=0{,}2$$
2. 2
   Так как выстрелы независимы, перемножаем вероятности нужных событий:$$P=0{,}8\cdot0{,}2^3=0{,}0064$$

Условная вероятность суммы очков

Игральную кость бросили два раза. Известно, что пять очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 9».

1. 1
   С учётом условия на каждом броске возможны результаты $1, 2, 3, 4, 6$, поэтому всего равновероятных упорядоченных исходов:$$5 \cdot 5 = 25$$
2. 2
   Сумму 9 без выпадения пяти очков дают только пары $(3;6)$ и $(6;3)$. Благоприятных исходов 2.$$P = \dfrac{2}{25}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Условная вероятность на кости

Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 9».

1. 1
   С учётом условия каждый бросок может дать только одно из пяти значений: 1, 2, 3, 4 или 5. Поэтому число равновероятных исходов двух бросков равно:$$5 \cdot 5 = 25$$
2. 2
   Сумма очков равна 9 только в двух случаях: $(4;5)$ и $(5;4)$.$$N = 2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность массы буханки

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,98. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г…

1. 1
   Пусть $A$ — событие «масса буханки меньше 810 г», а $B$ — событие «масса буханки больше 790 г». Искомое событие — это пересечение $A$ и $B$.$$P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A \cup B)$$
2. 2
   События $A$ и $B$ в совокупности образуют достоверное событие, поэтому $P(A \cup B)=1$.$$P(A \cap B)=0{,}98+0{,}83-1=0{,}81$$

Вероятность трёх попаданий

Стрелок стреляет по одному разу по каждой из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,2. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в три первые…

1. 1
   Вероятность попадания в каждую из трёх первых мишеней равна $0{,}2$, поэтому вероятность трёх попаданий подряд равна:$$(0{,}2)^3$$
2. 2
   Вероятность не попасть в последнюю мишень равна:$$1 - 0{,}2 = 0{,}8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Попадания по мишеням

Стрелок стреляет по одному разу по каждой из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,3. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в три первые…

1. 1
   Вероятность попадания в каждую из первых трёх мишеней равна $0{,}3$, а вероятность промаха по последней мишени равна $1 - 0{,}3 = 0{,}7$.$$P(\text{промах}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$$
2. 2
   События независимы, поэтому вероятность нужной комбинации равна произведению вероятностей отдельных событий.$$P = 0{,}3^3 \cdot 0{,}7 = 0{,}0189$$

Вероятность попаданий по мишеням

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и…

1. 1
   Вероятность попадания в первую мишень равна $0{,}7$, а вероятность промаха по одной мишени равна $1 - 0{,}7 = 0{,}3$.
2. 2
   События независимы, поэтому перемножаем вероятность попадания в первую мишень и вероятности трёх промахов:$$P = 0{,}7 \cdot 0{,}3^3 = 0{,}0189$$

Вероятность начала игры

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Изумруд» играет два матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в…

1. 1
   В каждом матче вероятность того, что команда «Изумруд» начнёт игру с мячом, равна $\dfrac{1}{2}$. Броски монетки в двух матчах независимы.
2. 2
   Событие «начнёт игру не больше одного раза» является противоположным событию «начнёт игру оба раза».

Ещё 2 шага — в полном решении

Вероятность брака батарейки

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того…

1. 1
   Пусть событие $B$ означает, что батарейка неисправна, а событие $A$ — что система её забраковала. Вероятность исправной батарейки равна $1-0{,}01=0{,}99$.$$P(B)=0{,}01,\quad P(\overline{B})=0{,}99$$
2. 2
   По формуле полной вероятности вероятность того, что батарейка будет забракована, равна сумме вероятностей брака для неисправной и исправной батарейки.$$P(A)=0{,}01\cdot0{,}95+0{,}99\cdot0{,}05$$

Ещё 1 шаг — в полном решении