Решение: Кредит с равными уменьшениями долга
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равно $r$, если общая сумма платежей в 2027 году составит 4830 тыс. рублей?
Решение по шагам
9 шаговПереведём сумму кредита в тысячи рублей: $9$ млн рублей равны $9000$ тыс. рублей. Пусть $D_k$ — долг на 15-е число через $k$ месяцев после 15 декабря 2026 года.
Всего предусмотрено 36 ежемесячных уменьшений долга, причём к концу срока долг уменьшается с $9000$ до нуля на одну и ту же величину. Поэтому величина ежемесячного уменьшения равна
$$a=\frac{9000}{36}=250$$Следовательно, долг на 15-е число через $k$ месяцев равен
$$D_k=9000-250k$$В 2027 году выполняются первые 12 платежей: с января по декабрь. Платёж за месяц с номером $k$ равен долгу после начисления процентов минус долг на 15-е число этого месяца:
$$P_k=(1+r)D_{k-1}-D_k$$Сумма долгов перед начислением процентов за первые 12 месяцев равна
$$D_0+D_1+\dots+D_{11}=\frac{(9000+6250)\cdot12}{2}=91500$$Сумма долгов на 15-е число после первых 12 уменьшений равна
$$D_1+D_2+\dots+D_{12}=\frac{(8750+6000)\cdot12}{2}=88500$$По условию сумма платежей в 2027 году составляет 4830 тыс. рублей. Поэтому
$$(1+r)\cdot91500-88500=4830$$Решим полученное уравнение:
$$91500r=4830-3000=1830,\qquad r=\frac{1830}{91500}=0{,}02$$Переведём долю в проценты: $0{,}02=2\%$.
$r=2\%$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что ежемесячное уменьшение долга равно $9000/35$ вместо $9000/36$.
Суммировать только уменьшения долга, не учитывая начисление процентов.
Использовать в сумме платежей за 2027 год долги не на тех датах.
Не перевести десятичную дробь $0{,}02$ в проценты.