а) Решите уравнение $49^{\sin x}=\left(\frac{1}{7}\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x}$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$.
- 1
Представим левую часть и правую часть уравнения как степени числа $7$:$$49^{\sin x}=7^{2\sin x},\qquad \left(\frac{1}{7}\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x}=7^{\sqrt{2}\sin 2x}$$
- 2
Так как основание $7$ положительно и не равно единице, приравняем показатели степеней:$$2\sin x=\sqrt{2}\sin 2x$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $27 \cdot 81^{\sin x} - 12 \cdot 9^{\sin x} + 1 = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right]$.
- 1
Сделаем замену $y = 9^{\sin x}$. Тогда $81^{\sin x} = y^2$, поскольку $81 = 9^2$. Получаем квадратное уравнение:$$27y^2 - 12y + 1 = 0$$
- 2
Найдём корни квадратного уравнения:$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 27 \cdot 1 = 36$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $\left(\dfrac{1}{49}\right)^{\sin(x+\pi)}=7^{2\sqrt{3}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку…
- 1
Преобразуем левую часть уравнения, используя $49=7^2$:$$\left(\frac{1}{49}\right)^{\sin(x+\pi)}=7^{-2\sin(x+\pi)}$$
- 2
Применяем формулы приведения:$$-2\sin(x+\pi)=2\sin x, \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $16^{\sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5\pi; -\dfrac{7\pi}{2}\right]$.
- 1
Поскольку $16^{\sin x} = \left(4^{\sin x}\right)^2$, введём замену $t = 4^{\sin x}$. Так как $4^{\sin x} > 0$, имеем $t > 0$.$$t^2 - 6t + 8 = 0$$
- 2
Решим квадратное уравнение.$$(t-2)(t-4)=0,\quad t=2\ или\ t=4$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку…
- 1
Применим формулу приведения:$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$$
- 2
Раскроем косинус разности:$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x+\sin x)$$
Ещё 7 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку…
- 1
Применим формулы приведения и формулу синуса разности:$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x,\quad \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{2}}$$
- 2
Подставим эти выражения в исходное уравнение и разделим обе части на $\sqrt{2}$:$$\sqrt{2}(\sin x-\cos x)-2\sqrt{2}\sin x=0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{\cos^2 x} = 63$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7\pi}{2};\,5\pi\right]$.
- 1
Так как $0 \leq \sin^2 x \leq 1$, введём замену $t = 4^{\sin^2 x}$. Тогда $1 \leq t \leq 4$.
- 2
Используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и выразим вторую степень:$$4^{\cos^2 x}=4^{1-\sin^2 x}=\frac{4}{4^{\sin^2 x}}=\frac{4}{t}$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\cos^2x=\cos x-2\sqrt{3}$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]$.
- 1
Раскроем синус суммы:$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\sin x+\cos x$$
- 2
Подставим это выражение в исходное уравнение и сократим слагаемые $\cos x$:$$\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{3}\cos^2x+2\sqrt{3}=0$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $\cos 2x-\sqrt{2}\sin(x+\pi)-1=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$.
- 1
Применим формулу приведения: $\sin(x+\pi)=-\sin x$. Тогда исходное уравнение принимает вид$$\cos 2x+\sqrt{2}\sin x-1=0$$
- 2
Выразим косинус двойного угла через синус:$$1-2\sin^2x+\sqrt{2}\sin x-1=0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите уравнение. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие заданному отрезку.
- 1
В условии отсутствует формула уравнения.
- 2
Также не указаны границы отрезка, на котором требуется выбрать корни.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sin^2x=\sin x+2$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем первый член уравнения:$$\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sin x+\cos x$$
- 2
Подставим это в исходное уравнение и перенесём все слагаемые в левую часть:$$2\sin^2x-\sin x+\cos x-2=0$$
Ещё 7 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $1-\cos 2x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}-2\sin(x-\pi)$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}]$.
- 1
Используем формулы $1-\cos 2x=2\sin^2 x$ и $\sin(x-\pi)=-\sin x$.$$2\sin^2x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}+2\sin x$$
- 2
Перенесём все слагаемые в левую часть и введём обозначение $t=\sin x$.$$2t^2+(\sqrt{3}-2)t-\sqrt{3}=0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $2 - 2\cos(\pi - 2x) + \sqrt{8}\cos x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\cos x$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi; \dfrac{9\pi}{2}\right]$.
- 1
Применим формулы приведения и двойного угла:$$\cos(\pi-2x)=-\cos 2x,\quad \cos 2x=2\cos^2x-1$$
- 2
Подставим эти выражения в исходное уравнение и приведём подобные слагаемые:$$2+2\cos 2x+\sqrt{8}\cos x=\sqrt{6}+\sqrt{12}\cos x$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $2\cos^3 x+\sqrt{3}\cos^2 x+2\cos x+\sqrt{3}=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$.
- 1
Сделаем замену $t=\cos x$. Тогда уравнение принимает вид:$$2t^3+\sqrt{3}t^2+2t+\sqrt{3}=0$$
- 2
Сгруппируем слагаемые и разложим многочлен на множители:$$2t^3+\sqrt{3}t^2+2t+\sqrt{3}=t^2(2t+\sqrt{3})+(2t+\sqrt{3})=(2t+\sqrt{3})(t^2+1)$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $1 - \cos 2x + \sqrt{2}\sin x = \sqrt{2} - 2\sin(x + \pi)$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем синус суммы: $\sin(x + \pi) = -\sin x$. Поэтому исходное уравнение принимает вид$$1 - \cos 2x + \sqrt{2}\sin x = \sqrt{2} + 2\sin x$$
- 2
Перенесём все слагаемые в левую часть и воспользуемся формулой $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:$$1 - \cos 2x - (2 - \sqrt{2})\sin x - \sqrt{2} = 0$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+1=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$.
- 1
Применим формулу приведения для синуса суммы и формулу двойного угла:$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x,\qquad \cos 2x=2\cos^2x-1$$
- 2
Подставим эти выражения в исходное уравнение:$$2\cos^2x-1+\sqrt{3}\cos x+1=0$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Текст задания содержит указание решить уравнение и указать его корни, принадлежащие заданному отрезку, однако само уравнение и границы отрезка в исходных данных отсутствуют.
- 1
В предоставленном изображении указаны только требования решить уравнение и выбрать корни на отрезке.
- 2
Формула уравнения и границы отрезка отсутствуют, поэтому общее решение и искомые корни определить нельзя.
Решите уравнение $2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin(\pi-x)=0$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[7\pi;\frac{17\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем синус суммы и синус разности:$$2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin x=0$$
- 2
Подставляем значения $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ и упрощаем:$$\sqrt{3}\sin x+\cos x-2\sqrt{3}\sin x=0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $4\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=\sqrt{6}$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку…
- 1
Преобразуем первое слагаемое по формуле косинуса разности.$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{2}}$$
- 2
Преобразуем синус второго аргумента по формуле приведения.$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $2\sin^2 x+\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos x$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$.
- 1
Раскроем синус суммы и учтём значения синуса и косинуса угла $\dfrac{\pi}{4}$.$$\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos x\sin\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin x+\cos x$$
- 2
Подставим полученное выражение в исходное уравнение и сократим $\cos x$.$$2\sin^2 x+\sin x+\cos x=\cos x\quad\Longrightarrow\quad 2\sin^2 x+\sin x=0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде