Решите уравнение $2\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+\cos(\pi-x)=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$.
- 1
Применим формулы приведения:$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x,\qquad \cos(\pi-x)=-\cos x$$
- 2
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:$$2\cos^2 x-\cos x=0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $\sin 2x + 2\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{15\pi}{2}; -6\pi\right]$.
- 1
Раскроем косинус разности:$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{2}}$$
- 2
Подставим это выражение в исходное уравнение:$$\sin 2x+2\sin x+2\cos x+1=0$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Решите уравнение. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие заданному отрезку.
- 1
В распознанном тексте и на приложенном изображении приведены только пункты задания, но отсутствуют формула уравнения и границы отрезка.
- 2
Без уравнения невозможно найти его корни, а без границ отрезка невозможно определить, какие из корней подходят для пункта б).
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{\tau}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ — время, прошедшее от…
- 1
Подставим начальную массу, период полураспада и конечную массу в закон распада.$$39 = 156 \cdot 2^{-\frac{\tau}{8}}$$
- 2
Разделим обе части уравнения на 156 и представим дробь как степень двойки.$$2^{-\frac{\tau}{8}} = \frac{39}{156} = \frac{1}{4} = 2^{-2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+2\sin(\pi+x)=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[5\pi;\dfrac{13\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем второй синус:$$\sin(\pi+x)=-\sin x$$
- 2
После деления уравнения на $2$ получаем:$$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-\sin x=0$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $\sin x + 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\sin 2x + 1$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.
- 1
Раскроем синус суммы:$$2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=2\left(\sin 2x\cos\frac{\pi}{6}+\cos 2x\sin\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$$
- 2
Подставим полученное выражение в исходное уравнение и сократим одинаковые слагаемые:$$\sin x+\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{3}\sin 2x+1$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $\sin 2x - \sin(-x) + 2\cos(-x) + 1 = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right]$.
- 1
Применим формулы чётности и нечётности тригонометрических функций: $\sin(-x)=-\sin x$, $\cos(-x)=\cos x$.$$\sin 2x + \sin x + 2\cos x + 1 = 0$$
- 2
Используем формулу $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и разложим выражение на множители.$$2\sin x\cos x+\sin x+2\cos x+1=(2\cos x+1)(\sin x+1)=0$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
- 1
В предоставленном изображении формула уравнения и границы отрезка отсутствуют: видны только пункты задания и пустое поле.
- 2
Поэтому общее Шешім уравнения и корни на отрезке определить нельзя.
Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{2}\cos(x+\pi)=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем косинус суммы и синус двойного угла:$$\cos(x+\pi)=-\cos x,\qquad \sin 2x=2\sin x\cos x$$
- 2
Подставим эти выражения в исходное уравнение и вынесем общий множитель:$$2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $2\sin x + 2\sqrt{3}\sin(-x) - 4\cos^2 x = \sqrt{3} - 4$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$.
- 1
Так как $\sin(-x)=-\sin x$, исходное уравнение принимает вид:$$2\sin x-2\sqrt{3}\sin x-4\cos^2x=\sqrt{3}-4$$
- 2
Выразим квадрат косинуса через синус: $\cos^2x=1-\sin^2x$.$$2(1-\sqrt{3})\sin x-4(1-\sin^2x)=\sqrt{3}-4$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $\dfrac{4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt{3}\sin x}}{\sqrt{7\sin x}}=0$. Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{13\pi}{2};-5\pi\right]$.
- 1
Знаменатель должен быть определён и не равен нулю. Поэтому $7\sin x>0$, то есть $\sin x>0$.$$\sin x>0$$
- 2
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю:$$4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt{3}\sin x}=0$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $4 \cdot 16^{\sin^2 x} - 6 \cdot 4^{\cos^2 x} = 29$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right]$.
- 1
Положим $t = 4^{\sin^2 x}$. Поскольку $0 \leq \sin^2 x \leq 1$, имеем $1 \leq t \leq 4$.$$16^{\sin^2 x}=t^2$$
- 2
Используем тождество $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ и выразим вторую показательную функцию.$$4^{\cos^2 x}=4^{1-\sin^2 x}=\frac{4}{4^{\sin^2 x}}=\frac{4}{t}$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $\dfrac{\log_2^2(\sin x)+\log_2(\sin x)}{2\cos x-\sqrt{3}}=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2};\,2\pi\right]$.
- 1
Запишем область допустимых значений. Для существования логарифма необходимо $\sin x>0$, а знаменатель дроби не должен обращаться в ноль:$$\sin x>0,\qquad 2\cos x-\sqrt{3}\ne0$$
- 2
Так как дробь равна нулю, её числитель должен быть равен нулю:$$\log_2^2(\sin x)+\log_2(\sin x)=0$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2};\,4\pi\right]$.
- 1
Раскроем синус суммы:$$2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=2\left(\sin 2x\cos\frac{\pi}{6}+\cos 2x\sin\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$$
- 2
Подставим выражение в исходное уравнение и сократим одинаковые слагаемые:$$\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $\cos^2 x + \sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[5\pi; 6\pi]$.
- 1
Применим формулы понижения степени к квадратам синуса и косинуса:$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2},\quad \sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 - \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)}{2} = \frac{1 - \sin 2x}{2}$$
- 2
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:$$\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 - \sin 2x}{2} = \frac{1}{2}$$
Ещё 8 қадам — толық шешімде
Решите уравнение. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
- 1
На предоставленном изображении видны только указания решить уравнение и выбрать корни на отрезке. Само уравнение и границы отрезка не отображаются.
- 2
Поэтому выполнить пункты а) и б), а также однозначно определить правильный развёрнутый ответ невозможно.
а) Решите уравнение $27^x - 4 \cdot 3^{x+2} + 3^{5-x} = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_7 4;\ \log_7 16]$.
- 1
Введём замену $t = 3^x$, тогда $t > 0$. Представим слагаемые уравнения через $t$:$$27^x = (3^x)^3 = t^3,\quad 3^{x+2} = 9t,\quad 3^{5-x} = \frac{243}{t}$$
- 2
Подставим выражения в исходное уравнение и умножим на $t > 0$:$$t^3 - 36t + \frac{243}{t} = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^4 - 36t^2 + 243 = 0$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3}\cos 2x=\sin x+\sqrt{3}$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$.
- 1
Раскроем синус суммы:$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$$
- 2
Подставим это выражение в исходное уравнение и сократим $\sin x$:$$\sin x+\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\cos 2x=\sin x+\sqrt{3}\quad\Longrightarrow\quad\cos x-\cos 2x=1$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $2\cos x-\sqrt{3}\sin^2x=2\cos^3x$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$.
- 1
Перенесём правую часть уравнения в левую и сгруппируем слагаемые:$$2\cos x-2\cos^3x-\sqrt{3}\sin^2x=0$$
- 2
Вынесем общий множитель и применим формулу $1-\cos^2x=\sin^2x$:$$2\cos x(1-\cos^2x)-\sqrt{3}\sin^2x=0$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $2\cos^2 x + 3\sin(x + \pi) - 3 = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем синус суммы и косинус в квадрате:$$\sin(x+\pi)=-\sin x,\quad \cos^2x=1-\sin^2x$$
- 2
Подставим эти выражения в исходное уравнение:$$2(1-\sin^2x)-3\sin x-3=0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде