Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
а) Решите уравнение $2\cos^2 x + 3\sin(x + \pi) - 3 = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
6 шаговПреобразуем синус суммы и косинус в квадрате:
$$\sin(x+\pi)=-\sin x,\quad \cos^2x=1-\sin^2x$$Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$$2(1-\sin^2x)-3\sin x-3=0$$Приведём уравнение к квадратному относительно $\sin x$ и разложим на множители:
$$2\sin^2x+3\sin x+1=0,\quad (2\sin x+1)(\sin x+1)=0$$Рассмотрим первый случай:
$$\sin x=-\frac12\Rightarrow x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n\ или\ x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$Рассмотрим второй случай:
$$\sin x=-1\Rightarrow x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$На отрезке $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$ находятся значения $\frac{19\pi}{6}$ и $\frac{7\pi}{2}$.
а) $x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n$, $x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n$ или $x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$, где $n\in\mathbb Z$; б) $x=\frac{19\pi}{6}$ и $x=\frac{7\pi}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно используют формулу $\sin(x+\pi)$ и получают знак плюс вместо знака минус.
Теряют решение $\sin x=-1$.
Не учитывают правую границу отрезка: $\frac{7\pi}{2}$ также является корнем.