Решение: Логарифмическое неравенство с заменой
Решите неравенство $\log_{49}(x+4)+\log_{x^2+8x+16}\sqrt{7}\leq -\dfrac{3}{4}$.
Решение по шагам
7 шаговВыпишем область допустимых значений. Аргумент первого логарифма должен быть положительным: $x+4>0$. Основание второго логарифма должно быть положительным и не равно единице: $x^2+8x+16=(x+4)^2>0$, $(x+4)^2\neq 1$. Поэтому $x>-4$ и $x\neq -3,-5$. С учетом $x>-4$ получаем $x>-4$, $x\neq -3$.
Сделаем замену $t=x+4$. Тогда $t>0$, $t\neq 1$, а $x^2+8x+16=t^2$.
Преобразуем логарифмы: $\log_{49}t=\dfrac{\ln t}{\ln 49}=\dfrac{\ln t}{2\ln 7}$, а $\log_{t^2}\sqrt7=\dfrac{\ln\sqrt7}{\ln t^2}=\dfrac{\frac12\ln7}{2\ln t}=\dfrac{\ln7}{4\ln t}$.
Введем $y=\dfrac{\ln t}{\ln7}=\log_7t$. Так как $t\neq1$, имеем $y\neq0$. Исходное неравенство принимает вид $\dfrac y2+\dfrac1{4y}\leq-\dfrac34$.
Перенесем все в левую часть: $\dfrac{2y^2+3y+1}{4y}\leq0$. Разложим числитель: $2y^2+3y+1=(2y+1)(y+1)$. Методом интервалов получаем $y\in(-\infty;-1]\cup\left[-\dfrac12;0\right)$.
Возвращаемся к переменной $t$. Так как функция $7^y$ возрастает, из $y\leq-1$ получаем $0<t\leq\dfrac17$, а из $-\dfrac12\leq y<0$ получаем $\dfrac1{\sqrt7}\leq t<1$.
Поскольку $x=t-4$, окончательно получаем $x\in\left(-4;-4+\dfrac17\right]\cup\left[-4+\dfrac1{\sqrt7};-3\right)$.
Ответ: $x\in\left(-4;-\dfrac{27}{7}\right]\cup\left[-4+\dfrac1{\sqrt7};-3\right)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничение $x\neq -3$, при котором основание второго логарифма равно единице.
При умножении неравенства на $y$ не учитывают знак переменной $y$.
Ошибочно считают, что $\log_{t^2}\sqrt7=\dfrac{\ln\sqrt7}{2\ln t}$ без проверки области допустимых значений.
Теряют левую круглую скобку, связанную с условием $x+4>0$.