Решение: Рациональное неравенство с логарифмами
Решите неравенство $1+\dfrac{10}{\log_2 x-5}+\dfrac{16}{\log_2^2 x-\log_2(32x^{10})+30}\ge 0$.
Решение по шагам
8 шаговОбласть определения исходного выражения задаётся условиями $x>0$ и $\log_2 x-5\ne 0$, то есть $x>0$ и $\log_2 x\ne 5$.
$$x>0,\quad \log_2x\ne 5$$Введём замену $t=\log_2x$. Тогда $\log_2(32x^{10})=\log_2 32+10\log_2x=5+10t$.
$$\log_2(32x^{10})=5+10t$$Преобразуем знаменатель второй дроби:
$$t^2-(5+10t)+30=t^2-10t+25=(t-5)^2$$Исходное неравенство принимает вид:
$$1+\dfrac{10}{t-5}+\dfrac{16}{(t-5)^2}\ge 0$$Приведём выражение к общему знаменателю. Так как $t\ne 5$, знаменатель $(t-5)^2$ положителен.
$$1+\dfrac{10}{t-5}+\dfrac{16}{(t-5)^2}=\dfrac{(t-5)^2+10(t-5)+16}{(t-5)^2}=\dfrac{(t-3)(t+3)}{(t-5)^2}$$Следовательно, необходимо решить неравенство $(t-3)(t+3)\ge 0$ с учётом исключённого значения $t=5$.
$$t\le -3\quad\text{или}\quad t\ge 3,\qquad t\ne 5$$Возвращаемся к переменной $x$, учитывая, что функция $\log_2x$ возрастает:
$$\log_2x\le -3\Rightarrow 0<x\le \dfrac18;\qquad \log_2x\ge 3\Rightarrow x\ge 8$$Значение $t=5$ соответствует $x=2^5=32$ и должно быть исключено из ответа.
$$x\ne 32$$$x\in\left(0;\dfrac18\right]\cup[8;32)\cup(32;+\infty)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно вычисляют $\log_2(32x^{10})$, забывая, что $\log_2 32=5$.
Не учитывают ограничение $\log_2x\ne 5$, из-за чего включают число $x=32$.
Забывают, что $x>0$ является областью определения логарифма.
Ошибочно меняют знак неравенства при переходе от $\log_2x$ к $x$: основание логарифма равно $2>1$.