Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\log_{8}(x^3-3x^2+3x-1) \geq \log_{2}(x^2-1)-5$.
Решение по шагам
8 шаговНайдём область допустимых значений. Аргументы логарифмов должны быть положительными:
$$(x-1)^3>0,\quad x^2-1>0$$Из первого неравенства следует $x>1$. При $x>1$ второе условие также выполняется, поэтому ОДЗ: $x>1$.
$$x\in(1,+\infty)$$Разложим выражения и приведём логарифмы к основанию $2$:
$$x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3,\quad \log_8 a=\frac13\log_2 a$$Преобразуем исходное неравенство:
$$\frac13\log_2 (x-1)^3\geq \log_2((x-1)(x+1))-5$$Умножим на $3$ и представим число $15$ как логарифм:
$$\log_2 (x-1)^3\geq 3\log_2((x-1)(x+1))-15=\log_2\frac{((x-1)(x+1))^3}{2^{15}}$$Так как основание логарифма $2>1$, сравним аргументы. На ОДЗ $x-1>0$, поэтому можно сократить положительный множитель $(x-1)^3$:
$$(x-1)^3\geq\frac{(x-1)^3(x+1)^3}{2^{15}}\Longleftrightarrow 2^{15}\geq(x+1)^3$$Поскольку $x>1$, число $x+1$ положительно. Следовательно:
$$x+1\leq32\Longleftrightarrow x\leq31$$С учётом ОДЗ получаем решение:
$$x\in(1,31]$$Ответ: $x\in(1;31]$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают учесть положительность аргументов логарифмов.
Неверно заменяют $\log_8 a$ на $\frac{1}{3}\log_2 a$.
Сокращают на $(x-1)^3$ без предварительного установления, что этот множитель положителен.
Включают точку $x=1$, хотя при $x=1$ аргументы логарифмов не положительны.