Решение: Логарифмическое неравенство с дробью
Решите неравенство $\log_5(3x+1)+\log_5\left(\frac{1}{72x^2}+1\right)\geq\log_5\left(\frac{1}{24x}+1\right)$.
Решение по шагам
7 шаговНайдём область допустимых значений. Для первого логарифма требуется $3x+1>0$, то есть $x>-\frac{1}{3}$. Второй логарифм определён при $x\neq0$, поскольку его аргумент содержит $x^2$. Для третьего логарифма требуется $\frac{1}{24x}+1>0$.
$$x>-\frac13,\quad x\ne0,\quad \frac{24x+1}{24x}>0$$Решая последнее условие и учитывая остальные ограничения, получаем область допустимых значений.
$$D=\left(-\frac13,-\frac1{24}\right)\cup(0,+\infty)$$Так как основание логарифма $5>1$, объединим логарифмы и сравним их аргументы.
$$(3x+1)\left(\frac{1}{72x^2}+1\right)\geq\frac{1}{24x}+1$$На ОДЗ величина $72x^2$ положительна, поэтому умножаем обе части неравенства на $72x^2$.
$$(3x+1)(72x^2+1)\geq72x^2+3x$$Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.
$$216x^3+72x^2+3x+1\geq72x^2+3x\iff216x^3+1\geq0$$Решаем полученное кубическое неравенство.
$$216x^3\geq-1\iff x\geq-\frac16$$Пересекаем найденное множество с областью допустимых значений.
$$\left[-\frac16,+\infty\right)\cap\left[\left(-\frac13,-\frac1{24}\right)\cup(0,+\infty)\right]=\left[-\frac16,-\frac1{24}\right)\cup(0,+\infty)$$x\in\left[-\frac16,-\frac1{24}\right)\cup(0,+\infty)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничения на аргументы логарифмов.
Забывают исключить $x=0$ из ОДЗ.
При решении условия $\frac{1}{24x}+1>0$ неверно определяют знаки числителя и знаменателя.
Не пересекают решение неравенства с областью допустимых значений.