Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\log_{11}(2x^2+1)+\log_{11}\left(\frac{1}{32x}+1\right)\geq\log_{11}\left(\frac{x}{16}+1\right)$.
Решение по шагам
8 шаговОпределим область допустимых значений. Первый аргумент логарифма положителен при всех $x$, поскольку $2x^2+1>0$. Для второго аргумента требуется
$$1+\frac{1}{32x}>0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{32x+1}{32x}>0$$Решая полученное неравенство и учитывая условие для третьего аргумента, получаем
$$x>0\ \text{или}\ x<-\frac{1}{32};\qquad \frac{x}{16}+1>0\Longleftrightarrow x>-16$$Итак, область допустимых значений исходного неравенства:
$$x\in\left(-\infty,-\frac{1}{32}\right)\cup(0,+\infty)$$Поскольку основание логарифмов $11>1$, применяем свойство логарифма произведения:
$$(2x^2+1)\left(\frac{1}{32x}+1\right)\geq\frac{x}{16}+1$$Преобразуем неравенство на области допустимых значений:
$$\frac{(2x^2+1)(32x+1)}{32x}\geq\frac{x+16}{16}$$Переносим всё в левую часть и приводим к общему знаменателю. Знаменатель $32x$ положителен на каждом из промежутков области допустимых значений, поэтому знак неравенства не меняется:
$$(2x^2+1)(32x+1)-2x(x+16)\geq0$$После раскрытия скобок получаем кубическое неравенство:
$$64x^3+1\geq0\quad\Longleftrightarrow\quad x\geq-\frac14$$Пересекаем найденное множество с областью допустимых значений:
$$\left[-\frac14,+\infty\right)\cap\left[\left(-\infty,-\frac{1}{32}\right)\cup(0,+\infty)\right)$$x\in\left[-\frac14,-\frac{1}{32}\right)\cup(0,+\infty)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают область допустимых значений логарифмов.
Включают точку $x=-\frac{1}{32}$, при которой второй аргумент логарифма равен нулю.
Включают точку $x=0$, при которой выражение $\frac{1}{32x}$ не определено.
Меняют знак неравенства без проверки знака знаменателя $32x$.