Решение: Кредит с ежегодным уменьшением долга
В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере 40 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на $25\%$ меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2032 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 61 875 тыс. рублей. Найдите $r$.
Решение по шагам
7 шаговПереведём сумму кредита в тысячи рублей: $40$ млн рублей равны $40000$ тыс. рублей. Обозначим коэффициент увеличения долга за январь через $q$:
$$q=1+\frac{r}{100}$$Обозначим долги на июль 2028, 2029, 2030 и 2031 годов через $D_0,D_1,D_2,D_3$. Каждый из первых трёх долгов уменьшается на $25\%$, то есть умножается на $0{,}75$:
$$D_0=40000,\quad D_1=0{,}75D_0=30000,\quad D_2=22500,\quad D_3=16875$$Платёж в первый год равен увеличившемуся долгу за вычетом долга, оставшегося после платежа. Аналогично выражаются следующие платежи, причём в последний год выплачивается весь увеличившийся долг:
$$P_1=qD_0-D_1,\quad P_2=qD_1-D_2,\quad P_3=qD_2-D_3,\quad P_4=qD_3$$По условию сумма платежей составляет $61875$ тыс. рублей. Составим уравнение:
$$(40000q-30000)+(30000q-22500)+(22500q-16875)+16875q=61875$$После приведения подобных слагаемых получаем:
$$109375q-69375=61875$$Решим уравнение относительно $q$:
$$q=\frac{61875+69375}{109375}=\frac{123750}{109375}=\frac{198}{175}$$Так как $q=1+\dfrac{r}{100}$, найдём процентную ставку:
$$r=100\left(\frac{198}{175}-1\right)=100\cdot\frac{23}{175}=\frac{92}{7}$$$r=\dfrac{92}{7}\%$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать увеличение долга в январе перед каждым платежом.
Считать, что последний платёж равен долгу на июль 2031 года, не увеличив его на $r\%$.
Использовать 25% оставшегося долга вместо 75%.