Решение: Расчёт суммы кредита
В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере $S$ тыс. рублей. Каждый январь долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года выплачивается одним платежом часть долга. В июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на $20\%$ меньше долга на июль предыдущего года, а к июлю 2032 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита равна $47\,712$ тыс. рублей. Найдите $S$.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим через $D$ долг на июль соответствующего года после внесения платежа. Если на июль предыдущего года долг составлял $D$, то в январе следующего года он увеличивался до $1{,}2D$.
По условию к июлю следующего года долг должен составлять $80\%$ от предыдущего, то есть $0{,}8D$. Поэтому платёж с февраля по июнь равен
$$1{,}2D-0{,}8D=0{,}4D$$Платежи в июле 2029, 2030 и 2031 годов соответствуют долгам $S$, $0{,}8S$ и $0{,}8^2S$. Их сумма равна
$$0{,}4S+0{,}4\cdot0{,}8S+0{,}4\cdot0{,}8^2S$$К июлю 2031 года долг после платежа равен $0{,}8^3S$. В январе 2032 года он увеличится до $1{,}2\cdot0{,}8^3S$, и эта сумма будет последним платежом.
$$P_4=1{,}2\cdot0{,}8^3S$$Составим уравнение по условию о сумме всех платежей:
$$0{,}4S+0{,}4\cdot0{,}8S+0{,}4\cdot0{,}8^2S+1{,}2\cdot0{,}8^3S=47\,712$$Вычислим коэффициент при $S$:
$$(0{,}4+0{,}32+0{,}256+0{,}6144)S=1{,}5904S$$Следовательно,
$$S=\frac{47\,712}{1{,}5904}=30\,000$$$30\,000$ тыс. рублей
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать увеличение долга на $20\%$ в январе.
Считать платёж равным только $20\%$ от исходного долга.
Не включить в сумму платежей окончательное погашение кредита в июле 2032 года.