16
Решение: Решение показательного неравенства
ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 16 · Алгебраические неравенства
ПовышеннаяФИПИ4e8757Развёрнутое решение≈ 4 минутыРазбор в 7 шагов
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
7 шагов1
Найдём область допустимых значений. Аргумент логарифма должен быть положительным:
$$2^x-2>0\quad\Longrightarrow\quad 2^x>2\quad\Longrightarrow\quad x>1$$2
По свойству взаимно обратных функций упростим первый член неравенства:
$$3^{\log_3(2^x-2)}=2^x-2$$3
Получаем неравенство:
$$2^x-2+4^x-18\le 0\quad\Longrightarrow\quad 2^x+4^x-20\le 0$$4
Введём замену $t=2^x$. Тогда $t>0$, а $4^x=(2^x)^2=t^2$:
$$t^2+t-20\le 0$$5
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$(t+5)(t-4)\le 0$$6
С учётом условия $t>0$ получаем $0<t\le 4$. Возвращаясь к переменной $x$, имеем:
$$0<2^x\le 4\quad\Longrightarrow\quad x\le 2$$Объединяем результат с областью допустимых значений $x>1$.
$$1<x\le 2$$Ответ
$x\in(1;2]$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают область допустимых значений $2^x-2>0$.
Ошибочно заменяют $4^x$ на $2x$ вместо $(2^x)^2$.
Включают точку $x=1$, хотя при ней аргумент логарифма равен нулю.