Решение: Рациональное неравенство с параметром
Решите неравенство $\dfrac{4^x-3\cdot2^{x+1}+4}{2^x-5}+\dfrac{3\cdot2^{x+1}-46}{2^x-8}\le 2^x+5$.
Решение по шагам
5 шаговВыполним замену $t=2^x$. Тогда $t>0$, $4^x=t^2$, $2^{x+1}=2t$, а значения $t=5$ и $t=8$ необходимо исключить.
$$t=2^x>0,\quad t\ne5,\quad t\ne8$$Подставим замену и перенесём правую часть в левую:
$$\frac{t^2-6t+4}{t-5}+\frac{6t-46}{t-8}-(t+5)\le0$$Приведём выражение к общему знаменателю и упростим числитель:
$$\frac{(t^2-6t+4)(t-8)+(6t-46)(t-5)-(t+5)(t-5)(t-8)}{(t-5)(t-8)}=\frac{t-2}{(t-5)(t-8)}$$Решаем рациональное неравенство с учётом условия $t>0$. Методом интервалов получаем:
$$t\in(0,2]\cup(5,8)$$Возвращаемся к переменной $x$. Из $0<2^x\le2$ следует $x\le1$, а из $5<2^x<8$ следует $\log_2 5<x<3$.
$$x\in(-\infty,1]\cup(\log_2 5,3)$$x\in(-\infty,1]\cup(\log_2 5,3)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не исключают значения $2^x=5$ и $2^x=8$, при которых знаменатели равны нулю.
Забывают условие $t=2^x>0$.
Включают точку $x=\log_2 5$ или $x=3$, хотя это точки разрыва исходного выражения.