Решение: Кредит с ежегодными платежами
В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 70 % меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 11 502 тыс. рублей. Найдите $S$.
Решение по шагам
6 шаговВ июле 2028 года долг равен $S$. В июле 2029 года он должен составлять $30\%$ от первоначального долга, то есть $0{,}3S$.
$$D_{2029}=0{,}3S$$К январю 2029 года долг увеличился на 20 %, поэтому перед первым платежом он стал равен $1{,}2S$. Первый платёж равен разности между долгом до и после платежа.
$$P_1=1{,}2S-0{,}3S=0{,}9S$$В июле 2030 года долг должен быть на 70 % меньше долга июля 2029 года, поэтому после второго платежа останется $0{,}3\cdot0{,}3S=0{,}09S$. Перед вторым платежом долг равен $1{,}2\cdot0{,}3S=0{,}36S$.
$$P_2=0{,}36S-0{,}09S=0{,}27S$$К январю 2031 года долг увеличится до $1{,}2\cdot0{,}09S=0{,}108S$. Эта сумма выплачивается последним платежом.
$$P_3=0{,}108S$$Сумма всех платежей равна 11 502 тыс. рублей. Составим уравнение.
$$0{,}9S+0{,}27S+0{,}108S=11502$$Решим уравнение: $1{,}278S=11502$, откуда $S=11502\mathbin{:}1{,}278\approx8995{,}31$.
$$S=\frac{11502}{1{,}278}\approx8995{,}31$$Сумма кредита: $S\approx8995{,}31$ тыс. рублей.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
При вычислении второго платежа забывают, что долг сначала увеличивается на 20 %.
Считают уменьшение долга на 70 % как уменьшение на 30 %.
Не включают в сумму платежей последний платёж в июле 2031 года.