Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\dfrac{4}{\log_2 x}-\log_2\left(\dfrac{4}{x}\right)\leq\dfrac{38}{\log_2^2 x}$.
Решение по шагам
8 шаговНайдём область допустимых значений: $x>0$, а также $\log_2 x\neq 0$, поэтому $x\neq 1$.
Сделаем замену $t=\log_2 x$. Тогда $t\neq 0$, а $\log_2\left(\dfrac{4}{x}\right)=\log_2 4-\log_2 x=2-t$.
Подставим замену в неравенство:
$$\frac{4}{t}-(2-t)\leq\frac{38}{t^2}$$Так как $t^2>0$ при $t\neq 0$, умножаем неравенство на $t^2$ без изменения знака:
$$4t-2t^2+t^3\leq 38$$Получаем кубическое неравенство:
$$t^3-2t^2+4t-38\leq 0$$Рассмотрим функцию $f(t)=t^3-2t^2+4t-38$. Её производная $f'(t)=3t^2-4t+4$ положительна при всех $t$, поскольку дискриминант этого квадратного трёхчлена отрицателен. Значит, функция строго возрастает и имеет единственный корень $\alpha$.
Численно находим корень уравнения $t^3-2t^2+4t-38=0$: $\alpha\approx 3{,}6976$. Поэтому $t\leq\alpha$, при этом $t\neq 0$.
Возвращаемся к переменной $x$. Так как функция $2^t$ возрастает, получаем $x\leq 2^\alpha$, а значение $x=1$ необходимо исключить.
$x\in(0;1)\cup(1;2^{\alpha}]$, где $\alpha$ — единственный корень уравнения $\alpha^3-2\alpha^2+4\alpha-38=0$, $\alpha\approx3{,}6976$; приблизительно $x\in(0;1)\cup(1;12{,}96]$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают исключить $x=1$, при котором знаменатель равен нулю.
При умножении на $t^2$ ошибочно меняют знак неравенства.
Теряют промежуток $0<x<1$, поскольку после замены исключают только $t=0$.
Неверно преобразуют $\log_2\left(\dfrac{4}{x}\right)$ в выражение $2+t$ вместо $2-t$.