Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство
$\dfrac{\log_2(2-x)-\log_2(x+1)}{\log_2^2 x^2+\log_2 x^4+1}\ge 0$.
Решение по шагам
6 шаговОбласть допустимых значений логарифмов: $2-x>0$ и $x+1>0$. Кроме того, знаменатель не должен обращаться в ноль.
$$0<x<2$$Преобразуем числитель по формуле разности логарифмов.
$$\log_2(2-x)-\log_2(x+1)=\log_2\frac{2-x}{x+1}$$Преобразуем знаменатель, используя $\log_2 x^2=2\log_2x$ и $\log_2x^4=4\log_2x$.
$$\log_2^2x^2+\log_2x^4+1=(2\log_2x)^2+4\log_2x+1=(2\log_2x+1)^2$$Знаменатель положителен, кроме точки, где он равен нулю:
$$2\log_2x+1=0\Longrightarrow x=2^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt2}$$На области $0<x<2$ основание логарифма больше единицы, поэтому числитель неотрицателен тогда и только тогда, когда его аргумент не меньше единицы.
$$\frac{2-x}{x+1}\ge1\Longleftrightarrow 2-x\ge x+1\Longleftrightarrow x\le\frac12$$С учётом ОДЗ и исключения нуля знаменателя получаем множество решений.
$$x\in\left(0,\frac12\right]\setminus\left\{\frac1{\sqrt2}\right\}$$$\left(0;\frac12\right]$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не исключают из области допустимых значений нули знаменателя.
Неверно раскрывают выражение $\log_2^2x^2$, принимая его за $\log_2(x^2)$.
Забывают, что при основании $2>1$ знак логарифма совпадает со знаком разности аргумента и единицы.