Решение: Решение показательного неравенства
Решите неравенство $\dfrac{3^{3x}-15\cdot 9^x+7\cdot 3^{x+2}-81}{x-1}\le 0$.
Решение по шагам
6 шаговВыполним замену $t=3^x$, тогда $t>0$, $9^x=t^2$, а $3^{x+2}=9t$.
$$t=3^x>0$$Преобразуем числитель неравенства:
$$3^{3x}-15\cdot 9^x+7\cdot 3^{x+2}-81=t^3-15t^2+63t-81$$Разложим полученный многочлен на множители:
$$t^3-15t^2+63t-81=(t-3)^2(t-9)$$Возвращаясь к переменной $x$, получаем:
$$\frac{(3^x-3)^2(3^x-9)}{x-1}\le 0$$Найдём критические точки. При $3^x=3$ получаем $x=1$, при $3^x=9$ — $x=2$. Точка $x=1$ исключается из области определения, так как обращает знаменатель в ноль.
$$x=1,\quad x=2$$Так как $(3^x-3)^2\ge 0$ и не меняет знак, знак выражения определяется множителями $3^x-9$ и $x-1$. На промежутке $(1,2)$ выражение отрицательно, а при $x=2$ равно нулю. Точка $x=1$ не входит в область определения.
$$\frac{(3^x-3)^2(3^x-9)}{x-1}\le 0$$$x\in(1;2]$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Включают точку $x=1$, хотя знаменатель исходной дроби обращается в ноль.
Забывают, что множитель $(3^x-3)^2$ не меняет знак.
Не включают точку $x=2$, где числитель равен нулю.