Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\log_2(4x^2-1)-\log_2 x\leq\log_2\left(5x+\dfrac{9}{x}-11\right)$.
Решение по шагам
6 шаговНайдём область допустимых значений. Необходимо, чтобы $x>0$ и $4x^2-1>0$. Кроме того, выражение $5x+\dfrac{9}{x}-11$ должно быть положительным.
$$x>0,\quad 4x^2-1>0,\quad 5x+\dfrac{9}{x}-11>0$$Из первых двух условий получаем $x>\dfrac{1}{2}$. При $x>0$ последнее выражение положительно, поскольку его числитель $5x^2-11x+9$ имеет отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент.
$$D=(-11)^2-4\cdot5\cdot9=-59<0$$Объединим логарифмы в левой части и воспользуемся тем, что функция $\log_2 t$ возрастает:
$$\log_2\left(\dfrac{4x^2-1}{x}\right)\leq\log_2\left(5x+\dfrac{9}{x}-11\right)$$Сравним аргументы логарифмов. Так как $x>0$, можно умножить неравенство на $x$ без изменения его знака.
$$\dfrac{4x^2-1}{x}\leq 5x+\dfrac{9}{x}-11\iff 4x^2-1\leq5x^2+9-11x$$Перенесём все слагаемые в правую часть и разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$x^2-11x+10\geq0\iff (x-1)(x-10)\geq0$$Решение последнего неравенства: $x\leq1$ или $x\geq10$. Пересекаем с ОДЗ $x>\dfrac{1}{2}$.
$$x\in\left(\dfrac{1}{2},1\right]\cup[10,+\infty)$$$x\in\left(\dfrac{1}{2},1\right]\cup[10,+\infty)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничение $x>\dfrac{1}{2}$ из условия $4x^2-1>0$.
Забывают, что при основании $2>1$ знак неравенства при сравнении аргументов логарифмов сохраняется.
Включают точку $x=\dfrac{1}{2}$, хотя при ней первый аргумент логарифма равен нулю.